Chủ đề này có 7 trả lời

[Hahahahahahahaha]

nếu dù chỉ một số $a$ hay $b$ không chia hết cho $7$ thì $a^{2}+b^{2}$ cũng không chia hết cho $7$

[perfectstrong]

Tổng quát là:

Định lý

Với mọi số nguyên t $p$ố có dạng $4k+3$, thì $\forall a, b \in \mathbb N : a^2 + b^2 \vdots p \Leftrightarrow a \vdots p \wedge b \vdots p$.

[thvn]

Khi làm là các bạn học sinh phải chứng minh đấy nhé!

Giả sử phản chứng $(a, p) = (b, p) = 1$.

Khi đó theo định lý Fermat nhỏ: 

$a^{p-1} \equiv 1 (\text{mod } p), b^{p-1} \equiv 1 (\text{mod }p)$

$\Rightarrow a^{4k+2} \equiv 1 (\text{mod }p), b^{4k+2} \equiv 1 (\text{mod }p)$

$\Rightarrow (a^{2})^{2k+1} + (b^{2})^{2k+1} \equiv 2 (\text{mod }p)$

Mặt khác $(a^{2})^{2k+1} + (b^{2})^{2k+1} \vdots (a^{2} + b^{2})\vdots p$

$\Rightarrow 2 \vdots p$ $\Rightarrow p = 2$ mâu thuẫn!

Vậy giả sử phản chứng là sai, do p là số nguyên tố nên phải có $a \vdots p$ và $b \vdots p$

 

Có thời gian các bạn thử làm thêm bài tập này nhé (Câu 4 đề thi IMO lần thứ 37 - năm 1996 Mumbai Ấn Độ):

Cho $a, b$ là các số nguyên dương thoả mãn: $15a + 16b$ và $16a - 15b$ đều là bình phương của các số nguyên dương. Số nhỏ hơn trong hai số này sẽ nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

(The positive integers $a, b$ are such that $15a + 16b$ and $16a - 15b$ are both squares of positive integers. 

What is the least possible value that can be taken on by the smaller of these two squares)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-01-2024 - 03:32
LaTeX

[perfectstrong]

 

Khi làm là các bạn học sinh phải chứng minh đấy nhé!

Giả sử phản chứng $(a, p) = (b, p) = 1$.

Khi đó theo định lý Fermat nhỏ: 

$a^{p-1} \equiv 1 (\text{mod } p), b^{p-1} \equiv 1 (\text{mod }p)$

$\Rightarrow a^{4k+2} \equiv 1 (\text{mod }p), b^{4k+2} \equiv 1 (\text{mod }p)$

$\Rightarrow (a^{2})^{2k+1} + (b^{2})^{2k+1} \equiv 2 (\text{mod }p)$

Mặt khác $(a^{2})^{2k+1} + (b^{2})^{2k+1} \vdots (a^{2} + b^{2})\vdots p$

$\Rightarrow 2 \vdots p$ $\Rightarrow p = 2$ mâu thuẫn!

Vậy giả sử phản chứng là sai, do p là số nguyên tố nên phải có $a \vdots p$ và $b \vdots p$

 

Có thời gian các bạn thử làm thêm bài tập này nhé (Câu 4 đề thi IMO lần thứ 37 - năm 1996 Mumbai Ấn Độ):

Cho $a, b$ là các số nguyên dương thoả mãn: $15a + 16b$ và $16a - 15b$ đều là bình phương của các số nguyên dương. Số nhỏ hơn trong hai số này sẽ nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

(The positive integers $a, b$ are such that $15a + 16b$ and $16a - 15b$ are both squares of positive integers. 

What is the least possible value that can be taken on by the smaller of these two squares)

 

Cảm ơn chứng minh của thầy, nhưng cấp 2 đã học định lý Fermat nhỏ rồi ạ?

[thvn]

Cảm ơn chứng minh của thầy, nhưng cấp 2 đã học định lý Fermat nhỏ rồi ạ?

 

Ôi trời, học rồi chứ bạn 

Với các bạn đội tuyển 6, khi học sinh học xong chương I là dạy đến đồng dư thức và tất nhiên là không thể thiếu Fermat nhỏ, định lý Euler, Wilson, De Polignac. Học xong chương II thì có thể đưa thêm đồng dư cho số nguyên âm để tính toán được thuận lợi, ngắn gọn hơn.

[huytran08]

Ôi trời, học rồi chứ bạn 

Với các bạn đội tuyển 6, khi học sinh học xong chương I là dạy đến đồng dư thức và tất nhiên là không thể thiếu Fermat nhỏ, định lý Euler, Wilson, De Polignac. Học xong chương II thì có thể đưa thêm đồng dư cho số nguyên âm để tính toán được thuận lợi, ngắn gọn hơn.

Lớp 6 đã học khoai vậy rồi hả thầy   .Chỗ em lớp 9 mới học định lí Euler đây thầy

[perfectstrong]

Mình ngày xưa lớp 10 học chuyên toán mới học mấy định lý này Cấp 2 chỉ biết đồng dư sơ sơ cho tính toán chứ không biết định lý gì.

[uca210]

dễ chứng minh 1số chính phương chia 7 chỉ dư 0,1,2,4 

vì vậy ta có đpcm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi uca210: 13-01-2024 - 21:38