Binh nhì
Câu 1: Cho $x, y$ thỏa mãn $2x-y=2$. Chứng minh rằng $\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}\geq 2\sqrt{5}$
Câu 2: Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng $\sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+b+c}}\leq \sqrt{6}$.
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Câu 1 tương đương với: CM $MA + MB \ge 2 \sqrt 5$ với $M$ là một điểm bất kỳ trên đường thẳng $(d): y=2x-2$, và $A(0,-1)$ và $B(0,3)$.
Thượng úy
Câu 2: Nhân mẫu số sang phải, đưa về BĐT: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \leq \sqrt{3(x+y+z)}$
Bình phương 2 vế đưa về BĐT quen thuộc.
-----------------
Giờ đến gõ $latex$ mà còn quên nữa!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 11-01-2024 - 07:21
Trung sĩ
câu 1 có thể làm thế này
$2x-y=2<=>y=2x-2$
ta có; $\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} +\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$
$=\sqrt{x^{2}+(2x-1)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(2x-5)^{2}}$
$=\sqrt{5x^{2}-4x+1}+\sqrt{5x^{2}-20x+25}$
$=\sqrt{5}.(\sqrt{x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{1}{5}} + \sqrt{x^{2}-4x+5})$
$=\sqrt{5}.[\sqrt{(x^{2}-2.\frac{2}{5}x+\frac{4}{25})+\frac{1}{25}}+\sqrt{(x^{2}-4x+4)+1}]$
$=\sqrt{5}.[\sqrt{(x-\frac{2}{5})^{2}+\frac{1}{25}}+\sqrt{(x-2)^{2}+1}]$
áp dụng BĐT Mincôpski:
$\sqrt{5}.[\sqrt{(x-\frac{2}{5})^{2}+\frac{1}{25}}+\sqrt{(x-2)^{2}+1}]$
$=\sqrt{5}.[\sqrt{(x-\frac{2}{5})^{2}+\frac{1}{5^{2}}}+\sqrt{(2-x)^{2}+1^{2}}]\geq \sqrt{5}.\sqrt{(x-\frac{2}{5}+2-x)^{2}+(1+\frac{1}{5})^{2}}=\sqrt{5}.\sqrt{\frac{64}{25}+\frac{36}{25}}=\sqrt{4}.\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
suy ra đpcm
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{2}{3};y=\frac{-2}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 11-01-2024 - 11:32
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
Hạ sĩ
Câu 1 tương đương với: CM $MA + MB \ge 2 \sqrt 5$ với $M$ là một điểm bất kỳ trên đường thẳng $(d): y=2x-2$, và $A(0,-1)$ và $B(0,3)$
anh có thế giải thích tại sao có điều này được không ạ?
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
anh có thế giải thích tại sao có điều này được không ạ?
Những biểu thức có dạng $\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}$ thường sẽ gợi về khoảng cách giữa điểm $(x,y)$ và $(a,b)$.
Để ý là hai biểu thức có căn đều sẽ có chung điểm $(x,y)$. Mặt khác, đề đã cho $2x-y=2$, đây lại là phương trình đường thẳng.
Nên ta có thể thử áp dụng phương pháp hình học tọa độ.
Vẽ ra thì bài toán trở thành: Tìm điểm $M$ để $MA + MB$ nhỏ nhất. Đây lại là bài toán hình học kinh điển.
BĐT Minkowski mà bạn haha^n dùng thực ra cũng chỉ là BĐT tam giác trong hình học tọa độ
Một số bài khác tương tự trên diễn đàn:
https://diendantoanh...3018-x2y2geq-1/
https://diendantoanh...6x23sqrt4x24x2/
https://diendantoanh...-n-in-d-2-xy20/
https://diendantoanh...12y2mid-y-2mid/
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-01-2024 - 00:45
Trung sĩ
Là do điều kiện $2x-y = 2$ có nghĩa là điểm $(x,y)$ nằm trên đường thẳng $y = 2x-2$, còn $\sqrt{x^2 + (y+1)^2}$ và $\sqrt{x^2 + (y-3)^2}$ lần lượt là khoảng cách giữa $(x,y)$ và $(0,-1)$, và giữa $(x,y)$ và $(0,3)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 12-01-2024 - 00:35
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
