Chủ đề này có 1 trả lời

[hngmcute]

Tìm $a$ nguyên dương thỏa mãn $6a^2+a$ là số chính phương.

[bahieupbc]

Giả sử tồn tại $a$ nguyên dương thỏa mãn $6a^2+a$ là số chính phương.

$\Rightarrow a(6a+1)$ là số chính phương.

Vì $(a,6a+1)=(6a,6a+1)=1$ nên $a$ và $6a+1$ là số chính phương.

Đặt $a=x^2$; $6a+1=y^2$ với $x, y\in \mathbb{N^*}$

$\Rightarrow y^2-6x^2=1$

( Đây là phương trình Pell )

Xét phương trình Pell loại $I$:

$$x^2-6y^2=1$$

Bằng phép thử tuần tự ta nhận thấy $(5,2)$ là nghiệm nhỏ nhất của phương trình này đồng thời đây cũng là cặp số nhỏ nhất thỏa mãn bài toán. Theo đó, công thức nghiệm của phương trình Pell này được xác định bởi:

 

3,2) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình này đồng thời đây cũng là cặp số nhỏ nhất thỏa mãn bài toán. Theo đó, công thức nghiệm của phương trình Pell này được xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix} x_{n}=\frac{(5+2\sqrt{6})^n+(5-2\sqrt{6})^n}{2} & \\ y_{n}= \frac{(5+2\sqrt{6})^n-(5-2\sqrt{6})^n}{2\sqrt{6}}  & \end{matrix}\right.$$

Vậy $a=x^2=\left [ \frac{(5+2\sqrt{6})^n-(5-2\sqrt{6})^n}{2\sqrt{6}} \right ]^2$ với $n\in \mathbb{N^*}$