Chủ đề này có 1 trả lời

[ngtien1255]

Một bài tập giải tích thực khá hay cho sinh viên năm nhất và năm hai mà mình mới tìm được.

Cho dãy số thực $(x_n)$ được định nghĩa như sau: $x_0 = a\in (0, 1)$ và \[x_{n+1} = \{10 x_n\}, \quad n\geq 0\] ở đây $\{x\}$ là phần lẻ của số thực $x$. Xét tập hợp $E$ gồm tất cả các số hạng của dãy $(x_n)$.
 

1. $E$ có compact hay không? Nếu không, hãy tìm tất cả các điểm giới hạn của dãy $(x_n)$.
2. $E$ có trù mật trong $[0, 1]$ hay không?
3. $E$ có phải là một không gian khả ly hay không (nghĩa là nó có chứa một tập con đếm được trù mật hay không)?

[Konstante]

Nếu $a$ là hữu tỷ thì $E$ là hữu hạn nên các câu hỏi của bài toán có thể trả lời được ngay: E là compact, không trù mật và cũng không khả ly.

 

Nếu $a$ là vô tỷ thì có lẽ còn tùy. Có thể xây dựng $a$ để $E$ compact (ví dụ $a = 0.s_01s_11\dots$ trong đó $s_i$ gồm có $i$ chữ số $0$), và cũng có thể xây dựng $a$ để $E$ không compact (ví dụ $a = 0.123456\dots$). Tương tự như vậy có thể xây dựng $a$ để $E$ không trù mật (ví dụ $a = 0.a_0a_1\dots$ trong đó $\left(a_i\right)_{i \in \mathbb{N}}$ là một chuỗi không tuần hoàn chỉ lấy các giá trị từ $1$ đến $9$), và cũng có thể xây dựng $a$ để $E$ trù mật.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 26-01-2024 - 23:37