Chủ đề này có 1 trả lời

[Sangnguyen3]

Cho hai dãy số $(x_n)$ và $(y_n)$ thỏa mãn $x_1=3$, $x_{n+1}=(x_{n}^{2}-2)^{2}-2$ và $y_{n}=\left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right )^{4^{n-1}}, n\geq 1$. Tính $lim(x_n.y_n)$

[supermember]

Bài này đơn giản. Mấu chốt bài này là từ " cấu trúc lặp " :  $ x_{n+1} = (x^{2}_n - 2)^2 -2$ ta đoán ra ngay là có liên quan đến việc chuyển $x_1$ về dạng $ a + \frac{1}{a}$.

Thật vậy, Xét phương trình $ \alpha + \frac{1}{\alpha} = 3$, ta lưu ý đến nghiệm của phương trình này trên tập hợp $(2; + \infty)$

 

Ta thấy phương trình này chỉ có nghiệm duy nhất thuộc tập hợp $(2; + \infty)$ là : $ \alpha_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $

 

Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được:

$ x_n = \alpha^{4^{n-1}}_1 + \frac{1}{ \alpha^{4^{n-1}}_1}$ với mọi $n \geq 1$

Ngoài ra: $ y_n =  \frac{1}{ \alpha^{4^{n-1}}_1}$ với mọi $n \geq 1$

Suy ra : $ \lim_{n \to + \infty} (x_n \cdot y_n ) = \lim_{n \to + \infty}   \left( \alpha^{4^{n-1}}_1 + \frac{1}{ \alpha^{4^{n-1}}_1}  \right) \cdot  \frac{1}{ \alpha^{4^{n-1}}_1}$

$ = \lim_{n \to + \infty} \left( 1 +  \frac{1}{ \alpha^{2 \cdot 4^{n-1}}_1} \right) = 1$ ,

Ở đây do $ \alpha_1 >2 >1 $ nên hiển nhiên :  $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{ \alpha^{2 \cdot 4^{n-1}}_1} = 0$

Lâu ngày quá không giải Toán, hi vọng là không bị sai ở đâu đó

 

Nhận xét:

 

Bài này sẽ không chỉ dừng lại ở đây đâu, nếu tiếp tục mở rộng ra thêm nữa, ta có thể xây dựng các bài toán khó hơn nhiều cũng dựa vào cấu trúc: $  \alpha \pm \frac{1}{\alpha} $. Chẳng hạn như có thể xây dựng thành các dạng lũy thừa kiểu:  $\alpha^{3^n} \pm  \frac{1}{ \alpha^{3^n}}$ với mọi $n \geq 1$.

Cái này thì chắc trông chờ vào tài năng sáng chế bài toán của Hoàng Xuân Thanh để có các bài Toán hay cho mọi người cùng giải.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 03-02-2024 - 22:27