Chủ đề này có 1 trả lời

[DaoTriBach]

Cho x,y,z dương thoả x+y+z=3

CMR $\sum \frac{1}{x+yz}\leq \frac{9}{2(xy+yz+zx)}$

[Duc3290]

Cho x,y,z dương thoả x+y+z=3

CMR $\sum \frac{1}{x+yz}\leq \frac{9}{2(xy+yz+zx)}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$$\frac{\sum (x+yz)(y+zx)}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)}\leq \frac{9}{2\sum xy}$$

$$\leftrightarrow \frac{\sum xy+ \sum_{sym}\limits x^2y+xyz(\sum x)}{xyz+\sum x^2y^2+xyz(\sum x^2)+x^2y^2z^2} \leq \frac{9}{2\sum xy}$$

$$\leftrightarrow  \frac{\sum xy+ \sum_{sym}\limits x^2y+3xyz}{xyz+\sum x^2y^2+xyz(\sum x^2)+x^2y^2z^2} \leq \frac{9}{2\sum xy}$$

$$ \leftrightarrow \frac{\sum xy+ (\sum x)(\sum xy)}{xyz+\sum x^2y^2+xyz(\sum x^2)+x^2y^2z^2} \leq \frac{9}{2\sum xy}$$

$$ \leftrightarrow \frac{4\sum xy}{xyz+\sum x^2y^2+xyz(\sum x^2)+x^2y^2z^2} \leq \frac{9}{2\sum xy}$$

Đặt $p=\sum x=3, q=\sum xy,r=xyz$ thì $q,r>0,q\leq 3$. Ta có:

 $$\sum x^2y^2=(\sum xy)^2-2xyz(\sum x)=q^2-6r$$

$$\sum x^2=(\sum x)^2-2\sum xy=9-2q$$

Do đó bdt trở thành:

$$\frac{4q}{r+q^2-6r+r(9-2q)+r^2}\leq \frac{9}{2q}$$

$$\leftrightarrow (q-3r)^2+12r(3-q)\geq 0$$

Vì $q\leq3$ nên bdt trên đúng, ta có dpcm