BĐT liên quan đến tích các phân thức

#1
hieuchuoi@

Đã gửi 08-08-2006 - 17:15

Thành viên lười nhác

Thành viên
418 Bài viết

Cho $x,y,z \geq -1$ và $x+y+z=0$ . Chứng minh rằng
$\dfrac{x+2}{yz-2x+5}.\dfrac{y+2}{xz-2y+5}.\dfrac{z+2}{xy-2z+5} \geq 3$

(tích của 2 phân thức nhé

)

#2
TIG Messi

Đã gửi 09-08-2006 - 12:32

^_^ Need + Enough = Success ^_^

Thành viên
368 Bài viết

Do $x,y,z \geq -1$ nên đặt
$a=x+1,b=y+1,c=z+1 \Rightarrow a,b,c \geq 0$ và $a+b+c=3$
.........
Trở về bài toán chứng minh BĐT với biến dương, biến đổi sẽ ra BDT quen thuộc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuchuoi@: 09-08-2006 - 17:37

Diễn đàn 3T - Diễn đàn Toán dành cho giáo viên, học sinh THCS và tiểu học

#3
chleng

Đã gửi 16-08-2006 - 08:31

heo con ngộ nghĩnh

Thành viên
54 Bài viết

Cho x, y, z >0 , x+y+z=1
c/m: $\dfrac{ \sqrt{x} }{1-x}+\dfrac{ \sqrt{y} }{1-y}+ \dfrac{ \sqrt{z} }{1-z } \geq \dfrac{3\sqrt{3} }{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thienthanmuaha_1991: 17-08-2006 - 08:37

Chuc moi nguoi giang sinh vui ve

#4
yeukhoahoc

Đã gửi 17-08-2006 - 07:32

Lính mới

Thành viên
3 Bài viết

các bạn giúp mình giải bài này với :
cho x,y,z :Rightarrow

R. chứng minh:
$\sqrt{x^2+xy+y^2} + \sqrt{x^2+xy+z^2} >= \sqrt{y^2+yz+z^2}$

bạn giúp mình giải bài mà không dùng bất đẳng thức Mincopski cách đấy ít dùng quá
cảm ơn truớc!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeukhoahoc: 17-08-2006 - 07:37

#5
titikid91yb

Đã gửi 17-08-2006 - 10:38

Trung sĩ

Thành viên
167 Bài viết

bài này của bạn có nhiều cách chứng minh bằng lượng giác hay đạo hàm nhưng với kiến thức THCS ta có thể giải như sau:

từ: $\sqrt{x} (\ sqrt{x} -\dfrac{1}{\sqrt{3} }) ^2( \sqrt{x} + \dfrac{2 \sqrt{3} }{3} ) \geq 0$
$\Rightarrow$ $\dfrac{ \sqrt{x}}{1-x} \geq \dfrac{3 \sqrt{3}x }{2}$ (bạn hãy kiểm tra lại)
c/m tương tự với y,z ta có đpcm
Đây là bài toán khá quen thuộc trong các sách về BDT cho cấp 3 đấy

Trời đã cho ta một trí thông minh tuyệt vời...
Mới 3 tuổi đã biết cười,biết nói...
Lên lớp 5 đã thuộc làu bảng chữ cái,chữ số...
Vừa vào cấp 3 đã làm cả trường chuyên kinh ngạc khi đã thành thạo tất cả các phép toán cộng,trừ,nhân,chia...
Tương lai đang chờ đón ta...
Nguyễn Duy Cương,toánTK17 chuyên nguyễn tất thành,yên bái

#6
dvtruc

Đã gửi 17-08-2006 - 20:50

Lính mới

Thành viên
5 Bài viết

Tìm Min của
$M=\dfrac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}} + \dfrac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}+ \dfrac{(c+a)^{2}}{(c-a)^{2}}$
với a,b,c đôi một khác nhau
Cảm ơn
-----------------------------------------------

&#91;TeX&#93;M=\dfrac{&#40;a+b&#41;^{2}}{&#40;a-b&#41;^{2}} +  \dfrac{&#40;b+c&#41;^{2}}{&#40;b-c&#41;^{2}}+ \dfrac{&#40;c+a&#41;^{2}}{&#40;c-a&#41;^{2}}&#91;/TeX&#93;

Chỉ cần đánh một lần Tex thôi và nhớ đánh phân số. Tham khảo thêm ở đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovemoney_hic: 18-08-2006 - 09:27

#7
hoang tuan anh

Đã gửi 18-08-2006 - 11:28

Thành viên
854 Bài viết

nói thiệt chứ mình mới có lời giải bằng mincopski , còn lời giải khác thì chưa có :leq

có $VT = \sqrt{(x+ \dfrac{1}{2}y)^{2}+( \dfrac{ \sqrt{3} }{2}y)^{2}}+ \sqrt{(x+ \dfrac{1}{2}z)^{2}+( \dfrac{ \sqrt{3} }{2}z)^{2}}$
= $\sqrt{(x+ \dfrac{1}{2}y)^{2}+( \dfrac{ \sqrt{3} }{2}y)^{2}}+ \sqrt{[-(x+ \dfrac{1}{2}z)]^{2}+( \dfrac{ \sqrt{3} }{2}z)^{2}}$
mincopski có
$VT \geq \sqrt{ \dfrac{1}{4}(y-z)^{2}+ \dfrac{3}{4}(y+z)^{2} }=VP$

HTA

dont put off until tomorrow what you can do today

#8
dtdong91

Đã gửi 19-08-2006 - 10:03

Tiến sĩ diễn đàn toán

Hiệp sỹ
1791 Bài viết

hì có cách khác dùng pp hình học cụ thể là trên mp Oxy lấy 1 điểm A(x,0) ,B(-1/2y,- $\dfrac{ \sqrt{3} }{2}$ y),C(-1/2z,- $\dfrac{ \sqrt{3} }{2}$ z)
ta có AB+BC>=CA dĩ nhiên

12A1-THPT PHAN BỘI CHÂU-TP VINH-NGHỆ AN

SẼ LUÔN LUÔN Ở BÊN BẠN

#9
dtdong91

Đã gửi 19-08-2006 - 10:11

Tiến sĩ diễn đàn toán

Hiệp sỹ
1791 Bài viết

hoặc đối với THCS có thể dùng một hệ quả của Jensen là f(x)+f(y)>=2f( $\dfrac{x+y}{2}$ ) (dễ c/m thui

) từ đó suy ra f(x)+f(y)+f(z)>=3f( $\dfrac{x+y+z}{3}$ ) với f(x)= $\dfrac{ \sqrt{x} }{1-x}$

12A1-THPT PHAN BỘI CHÂU-TP VINH-NGHỆ AN

SẼ LUÔN LUÔN Ở BÊN BẠN

#10
heongo

Đã gửi 20-08-2006 - 12:33

Binh nhì

Thành viên
14 Bài viết

Tìm Min của
$M=\dfrac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\dfrac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}+ \dfrac{(c+a)^{2}}{(c-a)^{2}}$
với a,b,c đôi một khác nhau
Cảm ơn

bạn ui bài này là 1 bài thi tuyển của lê hồng phong mà!!!thật ra đào hải long là 1 học sinh nghĩ ra cách để chứng minh nó với n số mà thôi!!!zui ghia!!ước jì mình cũng dc nổi tiếng thía,bài giải nà bạn:
biểu thức đã cho tương đương với:
$(\dfrac{a+b}{a-b}+ \dfrac{b+c}{b-c}+ \dfrac{c+a}{c-a})^{2}-2 \sum \dfrac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}$
mà $\sum \dfrac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}=-1$ nên $M \geq 2$ mấu chốt ở đây chính là chứng minh cái đống nhốn nháo kia bằng -1 đó bạn!!!cũng dễ thoai,bạn tự chứng minh nhé!!

#1 hieuchuoi@ Đã gửi 08-08-2006 - 17:15

#2 TIG Messi Đã gửi 09-08-2006 - 12:32

#3 chleng Đã gửi 16-08-2006 - 08:31

#4 yeukhoahoc Đã gửi 17-08-2006 - 07:32

#5 titikid91yb Đã gửi 17-08-2006 - 10:38

#6 dvtruc Đã gửi 17-08-2006 - 20:50

#7 hoang tuan anh Đã gửi 18-08-2006 - 11:28

#8 dtdong91 Đã gửi 19-08-2006 - 10:03

#9 dtdong91 Đã gửi 19-08-2006 - 10:11

#10 heongo Đã gửi 20-08-2006 - 12:33

1 người đang xem chủ đề

Đăng nhập