Chủ đề này có 1 trả lời

[MHN]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $4a+3b+2c=10$

Chứng minh rằng: $\frac{2c+4a+15}{3b+1}+\frac{4a+3b+15}{2c+1}+\frac{3b+2c+15}{4a+1}\geq 15$

[habcy12345]

Đặt $4a=x, 3b=y, 2c=z\Rightarrow x+y+z=10$. Khi đó: $VT=\sum\frac{y+z+15}{x+1}=\sum\frac{25-x}{x+1}$ Mặt khác ta chứng minh được $\frac{25-x}{x+1}\geq\frac{-18}{13}x+\frac{125}{13}$ $\Leftrightarrow 13(25-x)\geq(x+1)(-18x+125)$ $\Leftrightarrow 18x^2-120x+200\geq0$ $\Leftrightarrow 2(3x-10)^2\geq0$ (luôn đúng). Do đó $VT\geq\frac{-18}{13}\sum x+3\frac{125}{13}=15$. Dấu "$=$" xảy ra khi $a=\frac{5}{6}, b=\frac{10}{9}, c=\frac{5}{3}$.