Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyen Anh Dao]

Anh chị nào giúp e giải thích cơ sở của cách làm này với ạ. E đọc tài liệu mà không hiểu

Nhận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với
những cách cho này ta thường làm phương pháp sau:

\begin{align*} \Delta u_{k}&=u_{k+1} - u_{k} \\ \Delta u_{k}^{2}&=\Delta u{_{k+1}} - \Delta u{_{k}} \\ \Delta u_{k}^{3}&=\Delta u_{k+1}^{2}-\Delta u_{k}^{2}\\ \ldots & \end{align*}
Ta lập bảng các giá trị $\Delta u_{k}, \Delta u_{k}^{2}, \Delta u_{k}^{3},....$nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng
lại, sau đó kết luận un là đa thức bậc $1, 2, 3,…..$ và ta đi tìm đa thức đó.
Lời giải:
Bảng giá trị ban đầu:

$u_{k}$                 1     -1    -1    1     5     11   19       29       41      55

$\Delta u_{k}$               -2     0     2    4     6      8      10       12       14

$\Delta u_{k}^{2}$                  2      2    2     2     2       2       2         2

Ta thấy hàng của $\Delta u_{k}^{2}$ không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai:
$u_n=an^2+bn+c \, (1)$ trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy.
Em không hiểu tại sao các bậc của $u_n$ là gì và cơ sở tại sao khi $\Delta u_{k}^{2}$ bằng nhau hết lại suy ra được $u_n=an^2+bn+c$. Em cảm ơn ac đã dành thời gian đọc và suy nghĩ bài viết này <3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Anh Dao: 13-02-2024 - 15:58
LaTeX

[hxthanh]

Giả sử $\Delta^2(u_n)=c$ (hằng số, bậc 0 đối với n)
Thế thì $\Delta^1(u_n)$ là cấp số cộng công sai $c$
Số hạng tổng quát sẽ có bậc +1 đối với n.
Tương tự $(u_n)$ sẽ có bậc +1 đối với $\Delta^1(u_n)$ hay bậc 2 của n

[Nguyen Anh Dao]

Giả sử $\Delta^2(u_n)=c$ (hằng số, bậc 0 đối với n)
Thế thì $\Delta^1(u_n)$ là cấp số cộng công sai $c$
Số hạng tổng quát sẽ có bậc +1 đối với n.
Tương tự $(u_n)$ sẽ có bậc +1 đối với $\Delta^1(u_n)$ hay bậc 2 của nâ

 

Giả sử $\Delta^2(u_n)=c$ (hằng số, bậc 0 đối với n)
Thế thì $\Delta^1(u_n)$ là cấp số cộng công sai $c$
Số hạng tổng quát sẽ có bậc +1 đối với n.
Tương tự $(u_n)$ sẽ có bậc +1 đối với $\Delta^1(u_n)$ hay bậc 2 của n

e vẫn chưa hiểu lắm là sao bậc 2 lại suy ra được un = an^2 +bn+c 

[VGNam]

 

Giả sử $\Delta^2(u_n)=c$ (hằng số, bậc 0 đối với n)
Thế thì $\Delta^1(u_n)$ là cấp số cộng công sai $c$
Số hạng tổng quát sẽ có bậc +1 đối với n.
Tương tự $(u_n)$ sẽ có bậc +1 đối với $\Delta^1(u_n)$ hay bậc 2 của nâ

 

Giả sử $\Delta^2(u_n)=c$ (hằng số, bậc 0 đối với n)
Thế thì $\Delta^1(u_n)$ là cấp số cộng công sai $c$
Số hạng tổng quát sẽ có bậc +1 đối với n.
Tương tự $(u_n)$ sẽ có bậc +1 đối với $\Delta^1(u_n)$ hay bậc 2 của n

e vẫn chưa hiểu lắm là sao bậc 2 lại suy ra được un = an^2 +bn+c  

Đa thức bậc 2 của n có dạng tổng quát là an^2+bn+c đó bn

[tienmai]

Đầu tiên mình góp ý cách kí hiệu của bạn. $\Delta x_{n}$ được hiểu là $x_{n+1} - x_{n}$, còn $\Delta {x^{2}_{n}}$ được hiểu là ${x^{2}_{n+1}} - {x^{2}_{n}}$. Còn sai phân cấp hai (là sai phân của sai phân) được kí hiệu là $\Delta^{2} x_{n}$ và được xác định như sau

$$\begin{align*} \Delta^{2}(x_{n}) & = \Delta(\Delta(x_{n})) \\ & = \Delta(x_{n+1} - x_{n}) \\ & = \Delta(y_{n}) = y_{n+1} - y_{n} & \text{trong đó $y_{n} = x_{n+1} - x_{n}$} \\ & = (x_{n+2} - x_{n+1}) - (x_{n+1} - x_{n}) \\ & = \Delta x_{n+1} - \Delta x_{n} \end{align*}$$

Mình đã ghi chi tiết, thêm kí hiệu $y_{n}$ chỉ để tiện theo dõi chứ thực tế không ai làm như trên (trừ sách nhập môn về sai phân thì có thể). Lưu ý, sai phân của một dãy số cũng là một dãy số mà thôi.

 

Còn bây giờ mình trả lời tại sao "Nếu $\Delta^{2} x_{n}$ không đổi thì $x_{n}$ có dạng $an^{2} + bn + c$, trong đó $a, b, c$ là các hằng số."

 

Mình bắt đầu với mệnh đề đơn giản hơn

($\dagger$) "Nếu $\Delta x_{n}$ là hằng số thì $x_{n}$ có dạng $an + b$, trong đó $a, b$ là các hằng số" - Kí hiệu hằng số đó là $c$, nghĩa là $\Delta x_{n} = c$. Như vậy $x_{n+1} - x_{n} = c$ với mọi số nguyên dương $n$, và chúng ta có một dãy cấp số cộng, do đó $x_{n} = x_{1} + (n-1)c = cn + (x_{1} - c)$, chính là dạng $an + b$ (bạn có thể chứng minh lại $x_{n} = x_{1} + (n-1)c$ bằng quy nạp hoặc đọc sách giáo khoa giải tích 11).

 

Quay lại câu hỏi ban đầu.

Vì $\Delta^{2}x_{n} = \Delta(\Delta x_{n})$ là hằng số nên theo mệnh đề $\dagger$, $\Delta x_{n}$ có dạng $an + b$ (mấu chốt cho lập luận này là mệnh đề $\dagger$ và "sai phân của một dãy số cũng là một dãy số").

$\Delta x_{n} = x_{n+1} - x_{n} = an + b$ với mọi số nguyên dương $n$ thì

$$\begin{align*} x_{n} - x_{1} & = (x_{n} - x_{n-1}) + \cdots + (x_{2} - x_{1}) \\ & = (a\cdot (n-1) + b) + \cdots + (a\cdot 1 + b) \\ & = a\cdot ((n-1) + \cdots + 1) + bn \\ & = \frac{a}{2}\cdot n(n-1) + bn \\ & = \frac{a}{2}\cdot n^{2} + \left(b - \frac{a}{2} \right )n \end{align*}$$

(trên đây là cách mò ra công thức tổng quát (cộng các sai phân liên tiếp), còn để lập luận chặt chẽ thì cần nêu lập luận bằng quy nạp)

Do đó $x_{n} = \frac{a}{2}\cdot n^{2} + \left(b - \frac{a}{2}\right)n + x_{1}$ (lưu ý $x_{1}$ là hằng số) và đây chính là dạng $an^{2} + bn + c$.

 

Tổng quát hơn, nếu $\Delta^{k}x_{n}$ không đổi thì $x_{n}$ có dạng $a_{0} + a_{1}n + \cdots + a_{k}n^{k}$, trong đó $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}$ là các hằng số.