Chủ đề này có 4 trả lời

[MHN]

Cho tập $S\in \left \{ 1;2;3;...;100 \right \}$. Chứng minh rằng trong $50$ phần tử bất kì của $S$ luôn có hai phần tử mà tổng của nó là một số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 14-02-2024 - 23:57

[Nguyen Bao Khanh]

Giả sử tồn tại tập $B$ có $50$ phần tử bất kỳ của $S$ sao cho không tìm được 2 số có tổng là số chính phương.

• $3 \in B$ thì do $3+78=81 =9^2$ nên $78 \not \in B \implies 22 \in B$. Lại có $22;3 \in B; 22+3=25=5^2$, mâu thuẫn
• $97 \in B$ thì do $97+99=196=14^3$ nên $99 \not \in B \implies 1 \in B$ Lại có $1+8=3^2;1+48=7^2 \implies 48;8 \not \in B \implies 92;52 \in B$ nhưng $92+52=12^2$ nên mâu thuẫn.
• $3;97\not\in B$ thì tập B phải chứa đúng 1 phần tử trong 48 cặp $(k;100-k);k\in\{1;…;49\mid k\neq3\}$ và 2 số $50;100$. Nhưng $50+(100-69)=9^2;100+69=13^2$ nên $69;100-69 \not \in B$. Khi đó B ít hơn 50 phần tử.

Do đó giả sử sai.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Bao Khanh: 18-02-2024 - 10:47

[perfectstrong]

Giả sử tồn tại tập $B$ có $50$ phần tử bất kỳ của $S$ sao cho không tìm được 2 số có tổng là số chính phương.
Chia S thành $50$ cặp số dạng $(k;100-k); k \in \{1;...;50 \}$
Khi đó tập $B$ chỉ chứa đúng $1$ số trong mỗi cặp.

• $3 \in B$ thì do $3+78=81 =9^2$ nên $78 \not \in B \implies 22 \in B$. Lại có $22;3 \in B; 22+3=25=5^2$, mâu thuẫn 
• $97 \in B$ thì do $97+99=196=14^3$ nên $99 \not \in B \implies 1 \in B$ Lại có $1+8=3^2;1+48=7^2 \implies 48;8 \not \in B \implies 92;52 \in B$ nhưng $92+52=12^2$ nên mâu thuẫn.

Do đó giả sử sai.

Chú ý rằng $k=50$ thì $k=100-k$, mà $50$ chỉ được chọn nhiều nhất 1 lần thôi. Và em vẫn chưa xét phần tử $100$.

[MHN]

Chia thành $49$ cặp dạng $\left ( k;100-k \right )$ với $1\leq k\leq 49$ và cặp $\left ( 50;100 \right )$

[Nguyen Bao Khanh]

Dạ em đã sửa ạ @perfectstrong @minhhaiproh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Bao Khanh: 18-02-2024 - 10:48