Chủ đề này có 2 trả lời

[hngmcute]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$

 

Tìm $GTLN$ $A=\frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}+\frac{11c^3-b^3}{bc+4c^2}+\frac{11a^3-c^3}{ca+4a^2}$

[nguyenhuybao06]

Đã thử tìm cách khác nhưng cuối cùng lại phải dùng cách ma giáo này.   

Ta có $$\sum \left(3b-a-\frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2} \right)=\sum\frac{(a-b)^2(a+b)}{b(a+4b)}\geq0.$$

Do đó $$A=\sum\frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}\leq2(a+b+c)=6.$$

Vậy giá trị lớn nhất của $A=6$ khi $a=b=c=1$. 

[Hahahahahahahaha]

cách 2: sử dụng bđt phụ, rút gọn

$a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)<=>11b^{3}-a^{3}\leq b(12b^{2}-ab-a^{2})=b(a+4b)(3b-a)$

$=>\frac{11b^{3}-a^{3}}{b(a+4b)}\leq \frac{b(a+4b)(3b-a)}{b(a+4b)}=3b-a$

tương tự $\sum \frac{11b^{3}-a^{3}}{ab+4b^{2}}\leq 2(a+b+c)=6$

dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

 

 

bài tương tự:

cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c\leq 2014$

CMR: $\frac{5a^{3}-b^{3}}{ab+3a^{2}}+\frac{5b^{3}-c^{3}}{bc+3b^{2}}+\frac{5c^{3}-a^{3}}{ca+3c^{2}}\leq 2014$

(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Lào Cai năm 2014-2015

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 18-02-2024 - 08:40