Chủ đề này có 4 trả lời

[Thegooobs]

Khi tham khảo các bài tập vô cùng bé thì em thấy người ta giải như sau:

Example 2 - https://math24.net/infinitesimals.html

Tính giới hạn 

$$ \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}$$

Vì $(1+x)^{\dfrac{1}{3}} \sim 1+\dfrac{x}{3}$ nên giới hạn có thể viết là 

$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1+\dfrac{x}{3}-1}{x}=\dfrac{1}{3}$$.

Cách thế này không đúng so với định lí 

Nếu $f(x) \sim u(x), g(x) \sim v(x)$ khi $x \to a$ thì $\displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\dfrac{u(x)}{v(x)}$.

Thay vì thế vô cùng bé tương đương  của tử và mẫu người ta lại thế vào một số hạng đầu tiên của tử ?

Cách viết $(1+x)^{\dfrac{1}{3}} \sim 1+\dfrac{x}{3}$ và $(1+x)^{\dfrac{1}{3}}-1 \sim \dfrac{x}{3}$ có gì khác nhau ?

Anh chị có cách giải thích nào không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 18-02-2024 - 19:41

[Konstante]

 

 

Thay vì thế vô cùng bé tương đương  của tử và mẫu người ta lại thế vào một số hạng đầu tiên của tử ?

Họ thế vào cả mẫu nữa, nhưng với quan hệ xấp xỉ tầm thường $x \sim x$. Còn cách viết sau thì đương nhiên là không có gì khác nhau cả.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 19-02-2024 - 20:06

[Thegooobs]

Họ thế vào cả mẫu nữa, nhưng với quan hệ xấp xỉ tầm thường $x \sim x$. Còn cách viết sau thì đương nhiên là không có gì khác nhau cả.

Cảm ơn anh @Konstante.

Em vẫn còn thắc mắc là $f \sim g$ nhưng khi ta cộng vào một hằng số $k$ thì sự tương đương này không còn $f +k\not \sim g+k$ như trong bài viết này 

( https://diendantoanh...a/#entry742613)

Vậy tại sao cách viết sau không khác gì cách viết trước ạ.

[nmlinh16]

Viết như lời giải trên đương nhiên là sai: Mình có thể viết $(1 + x)^{\frac{1}{3}} \sim 1 + x$ (vì $\lim_{x \to 0} \dfrac{(1 + x)^{\frac{1}{3}}}{1+x} = 1$), nhưng từ đó không thể suy ra giới hạn cần tính bằng $\lim_{x \to 0}\dfrac{1+x-1}{x} = 1$ được.

Để tính giới hạn trên, bạn có thể đổi biến $y = \sqrt[3]{1+x}$, rồi đưa về tính giới hạn $\lim_{y \to 1} \frac{y-1}{y^3 - 1}$.

[Thegooobs]

Viết như lời giải trên đương nhiên là sai: Mình có thể viết $(1 + x)^{\frac{1}{3}} \sim 1 + x$ (vì $\lim_{x \to 0} \dfrac{(1 + x)^{\frac{1}{3}}}{1+x} = 1$), nhưng từ đó không thể suy ra giới hạn cần tính bằng $\lim_{x \to 0}\dfrac{1+x-1}{x} = 1$ được.

Để tính giới hạn trên, bạn có thể đổi biến $y = \sqrt[3]{1+x}$, rồi đưa về tính giới hạn $\lim_{y \to 1} \frac{y-1}{y^3 - 1}$.

Dạ em hiểu rồi ạ ! Một câu hỏi không liên quan lắm đến chủ đề là khi đổi biến một cách tổng quát $y=u(x)$ theo em biết là cần 3 điều kiện 

2 trong số đó là:

$\displaystyle \lim_{x \to a}u(x)=b$

$u(x) \ne b$ trong một lân cận nào đó của $a$ (có thể ngoại trừ tại $a$)

Vì theo em biết đổi biến thực chất dựa trên khẳng định sau:

Nếu $ \lim_{x \to a}u(x)=b$, $u(x) \ne b$ trong một lân cận nào đó của $a$ (có thể ngoại trừ tại $a$) và $\lim_{y \to b}f(y)=L$ khi đó $\lim_{x \to a}f[u(x)]=L$

Em vẫn thắc mắc là cần điều kiện $u(x) \ne b$ trong một lân cận nào đó của $a$ (có thể ngoại trừ tại $a$) không ? Chứ em hay thấy người ta không quan tâm lắm đến điều này ạ. 

Em xin cảm ơn !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 19-02-2024 - 21:23