Chủ đề này có 3 trả lời

[quanganhvu1503]

Câu 1: Cho $a^2\geq 2b> 0$. Tìm GTNN của $A=\frac{a^6+4b^3}{a^2b^2}$

Câu 2: Cho $3\sqrt[3]{ab}\geq 2b+1> 1$. Tìm GTNN của $B=\frac{3a^2+b^2}{ab}$

Câu 3: Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c> 0 \\abc=1 \end{matrix}\right.$. Tìm GTLN của $C=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$

Câu 4: Cho $a+b\neq 0$. Chứng minh rằng $a^2+b^2+\left ( \frac{2-ab}{a+b} \right )^{2}\geq 2$

Câu 5: Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c> 0 \\ a+b+c+2=abc \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{2}$.

[Leonguyen]

Câu 3: Đổi biến $(a,b,c)\mapsto(x^3,y^3,z^3),$ suy ra $xyz=1.$

Áp dụng bđt $m^3+n^3\geq mn(m+n)$ với $m,n$ dương, dấu bằng xảy ra tại $m=n$ ta có:

$C=\sum\frac{1}{a+b+1}=\sum\frac{1}{x^3+y^3+xyz}\leq\sum\frac{1}{xy(x+y)+xyz}=\sum\frac{1}{xy(x+y+z)}=1.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1.$

Vậy $\min C=1\Leftrightarrow a=b=c=1.$

[Duc3290]

Câu 4: Đặt $c = \frac{2-ab}{a+b} \Leftrightarrow ab+bc+ca=2$

Do đó $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca=2 \Leftrightarrow a^2+b^2+(\frac{2-ab}{a+b})^2\geq 2$

[chuyenndu]

5. $a+b+c+2=abc\Rightarrow a=\frac{x+y}{z},b=\frac{y+z}{x},c=\frac{z+x}{y}$