Chủ đề này có 3 trả lời

[hovutenha]

Cho một số nguyên dương $n$ ta định nghĩa $L(n)$ và $C(n)$ như sau:

$L(n)$ là số cách phân hoạch $n$ thành tổng một số lẻ các số nguyên dương phân biệt.

$C(n)$ là số cách phân hoạch $n$ thành tổng một số chẵn các số nguyên dương phân biệt.

Ví dụ ta có thể viết $7$ thành $7$ ; $6+1$ ; $5+2$ ; $4+3$ ; $4+2+1$. Khi đó có $L(n) = 2$ và $C(n) = 3$.

Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương ta đều có:

$$\left |  L(n) - C(n)  \right | \leq 1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hovutenha: 23-02-2024 - 19:43

[hxthanh]

Cho một số nguyên dương $n$ ta định nghĩa $L(n)$ và $C(n)$ như sau:
$L(n)$ là số cách phân hoạch $n$ thành tổng một số lẻ các số nguyên dương phân biệt.
$C(n)$ là số cách phân hoạch $n$ thành tổng một số chẵn các số nguyên dương phân biệt.
Ví dụ ta có thể viết $7$ thành $7$ ; $6+1$ ; $5+2$ ; $4+3$ ; $4+2+1$. Khi đó có $L(n) = 2$ và $C(n) = 3$.
Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương ta đều có:
$$\left | L(n) - C(n) \right | \leq 1$$

Lập hàm sinh cho số cách phân hoạch $n$ thành tổng các số nguyên dương phân biệt:
$G(x)=(1+x)(1+x^2)…(1+x^n)…$
Ở đây ta có $[x^n]G(x)=L(n)+C(n)$
Nhưng để chứng minh $L(n)$ và $C(n)$ hơn kém nhau không quá $1$ thì chưa biết phải làm thế nào
Theo như những gì dãy $C(n)=A067661$ cho thấy
thì hàm sinh cho $C(n)$ là
$E(x)=\dfrac 12\left(\prod_{k\ge 1}(1+x^k)+\prod_{k\ge 1}(1-x^k)\right)$
(Điều này làm mình thấy hoang mang không hiểu được! )
Như vậy $G(x)-E(x)=O(x)$ là hàm sinh cho $L(n)$
$O(x)=\dfrac 12\left(\prod_{k\ge 1}(1+x^k)-\prod_{k\ge 1}(1-x^k)\right)$
Bài toán được giải quyết hoàn toàn nếu ta chỉ ra được
$\left|[x^n]\right|: \prod_{k\ge 1}(1-x^k)\le 1 $
Trong tài liệu này từ cuối trang 6 đến trang 9 có nhắc đến kết luận trên.
Tham khảo “Số ngũ giác - Euler"

[Nobodyv3]

Cho một số nguyên dương $n$ ta định nghĩa $L(n)$ và $C(n)$ như sau:
$L(n)$ là số cách phân hoạch $n$ thành tổng một số lẻ các số nguyên dương phân biệt.
$C(n)$ là số cách phân hoạch $n$ thành tổng một số chẵn các số nguyên dương phân biệt.
Ví dụ ta có thể viết $7$ thành $7$ ; $6+1$ ; $5+2$ ; $4+3$ ; $4+2+1$. Khi đó có $L(n) = 2$ và $C(n) = 3$.
Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương ta đều có:
$$\left | L(n) - C(n) \right | \leq 1$$

Bài này có thể giải quyết bằng cách áp dụng định lý Euler's pentogonal number theorem. Định lý này phát biểu như sau:
Số cách phân hoạch n thành tổng một số chẵn các số nguyên dương phân biệt bằng số cách phân hoạch n thành tổng một số lẻ các số nguyên dương phân biệt cộng với $e(n)$, trong đó $e(n)=(-1)^j$ nếu $ n=j(3j\pm 1)/2; \; j\in \mathbb{Z}$ và $0$ nếu ngược lại, tức là :
$$C(n)-L(n)=e(n)$$ trong đó :
$e(n)=
\begin{cases}
(-1)^j, &\text{nếu  $n=j(3j\pm 1)/2;\;\;j\in \mathbb{Z}$}\\
0, &\text{ngược lại.}
\end{cases}$
Áp dụng vào bài toán ta được:
$$\boldsymbol { \left | C(n) - L(n) \right | \leq 1}$$Thử vài giá trị n:
$- n=4\Rightarrow j \notin \mathbb{Z}\Rightarrow e(4)=0$
$- n=7\Rightarrow j=\pm2\in \mathbb{Z}\Rightarrow e(7)=1$
$- n=15\Rightarrow j=\pm3\in \mathbb{Z}\Rightarrow e(15)=-1$
...v.v......

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-02-2024 - 20:26

[Nobodyv3]

Xin nói thêm, Định lý trên đã được chứng minh bằng Ferrers graphs và khá dài. Nếu các bạn quan tâm có thể tìm trên mạng.