Chủ đề này có 2 trả lời

[habcy12345]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
$$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{81}{4}abc\geq\frac{7}{4}$$
(Bài này mình solve đc bằng pqr, hi vọng có cách khác)

[dinhvu]

Một cách tà đạo trên aops https://artofproblem...111079p15283121

[Duc3290]

Mình góp một cách, mong bạn có thể ghi ngắn gọn hướng bằng $pqr$

Ta đặt

$$f(a,b,c)=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{81abc}{4}-\frac{7}{4}$$

Ta có: $$f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c) = \frac{(a+b)^2}{4c}+2c+\frac{81c(a+b)^2}{16}-\frac{7}{4}$$

Không mất tổng quát, giả sử $c = max \left \{ a,b,c \right \}$. Ta chứng minh:

$$f(a,b,c)\geq f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c)$$

$$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(16c^2-4ab-81abc^2)}{16abc}\geq 0$$

Ta có:$c^2\geq ab, \frac{2}{3}\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow \frac{1}{9}\geq ab$

Do đó: $16c^2-4ab-81abc^2=4(c^2-ab)+9c^2(1-9ab)+3c^2\geq 0$

Vậy ta chỉ cần chứng minh:

$$f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c)\geq 0$$

$$\Leftrightarrow f(\frac{1-c}{2},\frac{1-c}{2},c)\geq 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{(3c-2)^2(3c-1)^2}{16c}\geq 0 $$

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left ( a,b,c \right ) = \left ( \frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right ) = \left ( \frac{1}{6},\frac{1}{6},\frac{2}{3} \right )$ và các hoán vị.