Chủ đề này có 2 trả lời

[nhutduy27]

Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \}$ xác định như sau:$\left\{\begin{matrix} u_0=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{u^2_{n}+5}{2\left ( u_n+2 \right ) } ,\forall n\in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng dãy số $\left \{ u_{n} \right \}$ có giới hạn hữu hạn. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhutduy27: 29-02-2024 - 15:31

[Baoriven]

Từ $u_1$ trở đi (tất cả $u_n>1$ với $n>0$) thì dãy là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $1$ hoặc $0$ (lỏng hơn).

 

Bạn nên thử so sánh $u_{n+1}>u_n$ nếu không đúng thì đảo chiều, và từ đó có thể thấy so sánh được $u_n$ và $\alpha$ (ở đây $\alpha=1$) và chính $\alpha$ cũng là $L=\lim{u_n}$. 

[VGNam]

Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \}$ xác định như sau:$\left\{\begin{matrix} u_0=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{u^2_{n}+5}{2\left ( u_n+2 \right ) } ,\forall n\in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng dãy số $\left \{ u_{n} \right \}$ có giới hạn hữu hạn. 

+) Đầu tiên chứng minh $1< u_{n} \forall n=1,2,3...$ bằng quy nạp:

    Thấy với $n=1:u_{1}=\frac{21}{20}$ (đúng)

    Giả sử  $1< u_{k}$ $\forall k\geq 1$, ta suy ra được $1< u_{k+1}$ (mình chuyển hết về 1 vế rồi xét dấu )

    Vậy theo nguyên lý quy nạp $1<u_{n} \forall n=1,2,3...$

+) Xét $u_{n+1}-u_{n}$= $\frac{(1-u_{n})(u_{n}+5)}{2(u_{n}+2)}<0\forall n=1,2,3...$ suy ra dãy $u_{n}$ giảm

-> Vậy dãy $u_{n}$ giảm và bị chặn dưới, theo định lý Bolzano–Weierstrass thì $u_{n}$ tồn tại giới hạn hữu hạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VGNam: 02-03-2024 - 23:24