Với $x,y$ nguyên dương thỏa mãn $44x^{2} +1 = y^{2}$ . CMR $2y+2$ là số chính phương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-03-2024 - 01:36
Tiêu đề & LaTeX
$44x^{2} +1 = y^{2}$ . CMR $2y+2$ là số chính phương
Bắt đầu bởi npthao0910, 06-03-2024 - 22:55
#1
Đã gửi 06-03-2024 - 22:55
npthao0910
-
- Thành viên mới
-
- 14 Bài viết
Binh nhì
#2
Đã gửi 07-03-2024 - 08:46
thvn
-
- Thành viên
-
- 125 Bài viết
Trung sĩ
Từ điều kiện bài toán suy ra y lẻ, đặt y = 2k + 1
Thay vào và rút gọn ta được: $k(k + 1) = 11x^{2}$
Vì (k, k + 1) = 1 nên có 2 khả năng:
* $k = 11a^{2}, k + 1 = b^{2}$ với (a, b) = 1 và (b, 11) = 1. Khi đó $2y + 2 = 4(k + 1) = 4b^{2}$ là số chính phương
* $k = a^{2}, k + 1 = 11b^{2}$ với (a, b) = 1 và (a, 11) = 1. Suy ra $a^{2} + 1 = 11b^{2}$. Dễ dàng chỉ ra không thể xảy ra khả năng này bằng cách xét tính chẵn lẻ của a, b và mod 4.
Bài toán được chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 07-03-2024 - 08:47
- perfectstrong, Leonguyen và npthao0910 thích
N.K.S - Learning from learners!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
