Trung sĩ
Cho $\Delta XYZ$ ngoại tiếp đường tròn có bán kính bằng $1$. Gọi $h_{x},h_{y},h_{z}$ lần lượt là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh $X,Y,Z$ tới các cạnh đối diện. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức;
$W=\frac{1}{h_{x}+2h_{y}}+\frac{1}{h_{y}+2h_{z}}+\frac{1}{h_{z}+2h_{x}}$
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
Binh nhì
Áp dụng BĐT phụ: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$
Xét W = $\sum \frac{1}{h_{x} + 2h_{y}} = \sum \frac{1}{h_{x} + h_{y} + h_{y}} \leq \frac{1}{9}(\sum \frac{1}{h_{x}} + \frac{2}{h_{y}}) = \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{h_{x}})$
Diện tích $S_{\Delta XYZ} = \frac{h_{x}*x}{2} = \frac{h_{y}*y}{2} = \frac{h_{z}*z}{2} = \frac{(x+y+z)r}{2} \rightarrow \frac{1}{h_{x}} = \frac{x}{2pr}, \frac{1}{h_{y}} = \frac{y}{2pr}, \frac{1}{h_{z}} = \frac{z}{2pr}$ (x,y,z lần lượt là độ dài các cạnh YZ, ZX, XY và p là nửa chu vi $\Delta XYZ$)
$\rightarrow \sum \frac{1}{h_{x}} = \frac{x+y+z}{2pr} = \frac{1}{r}$
$\rightarrow W \leq \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{h_{x}}) = \frac{1}{3}.\frac{1}{r} = \frac{1}{3}$ (vì r = 1)
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow h_{x} = h_{y} = h_{z} \Leftrightarrow \Delta$ XYZ đều
Vậy max W = $\frac{1}{3} \Leftrightarrow \Delta XYZ$ đều có các đường cao $h_{x} = h_{y} = h_{z} = 3$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
