Chủ đề này có 3 trả lời

[MHN]

Cho các số dương $a;b;c$. Chứng minh rằng: $$(2a+b)\sqrt{\frac{b}{c+a}}+(2b+c)\sqrt{\frac{c}{a+b}}+(2c+a)\sqrt{\frac{a}{b+c}}>2(a+b+c).$$

[Duc3290]

Ta chứng minh bất đẳng thức với $a,b,c\geq 0$

Áp dụng bất đẳng thức Holder:

$$(\sum (2a+b)\sqrt{\frac{b}{c+a}} )^2(\sum b^2(c+a)(2a+b))\geq (\sum b(2a+b))^3=(\sum a)^6(*)$$

Ta chứng minh

$$ (\sum a)^6 \geq 4(\sum a)^2(\sum b^2(c+a)(2a+b)) (**)$$

$$\Leftrightarrow (\sum a)^6 \geq 4(\sum a)^2(\sum a)(\sum_{sym} \limits a^2b)$$

$$\Leftrightarrow (\sum a)^3 \geq 4\sum_{sym}\limits a^2b$$

$$\Leftrightarrow \sum a^3 + 3\sum_{sym}\limits a^2b +6abc \geq 4\sum_{sym}\limits a^2b$$

$$\Leftrightarrow \sum a^3 +6abc \geq \sum_{sym}\limits a^2b$$

Bất đẳng thức trên là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức Schur nên $(**)$ đúng.$\\$

Từ $(*) $ và $(**)$ suy ra điều phải chứng minh.$\\$

Đẳng thức xảy ra khi trong ba số $a,b,c$ có hai số bằng nhau, một số bằng không.$\\$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duc3290: 17-03-2024 - 23:14

[Duc3290]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$$\sqrt{\frac{b}{c+a}}= \frac{b}{\sqrt{b(c+a)}}\geq \frac{2b}{a+b+c}$$

Chứng minh tương tự ta có:

$$VT \geq \sum \frac{2(2a+b)b}{a+b+c} = 2\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=2(a+b+c)$$

Nên ta có đpcm.

[duong966123]

 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$$\sqrt{\frac{b}{c+a}}= \frac{b}{\sqrt{b(c+a)}}\geq \frac{2b}{a+b+c}$$

Chứng minh tương tự ta có:

$$VT \geq \sum \frac{2(2a+b)b}{a+b+c} = 2\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=2(a+b+c)$$

Nên ta có đpcm.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong966123: 22-03-2024 - 14:58