Chủ đề này có 3 trả lời

[Thegooobs]

Với $x \in \mathbb{R}$ thì $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ (ta còn gọi $[x]$ là hàm số nguyên lớn nhất)

Từ đó tính giới hạn sau:

$$\lim_{x \to 0^+}x^2\left(1+2+...+\left[\dfrac{1}{x}\right]\right)$$

[hxthanh]

Lời giải

$\left\lfloor \dfrac 1x\right\rfloor =n\Rightarrow \substack{\displaystyle{x^2} \\ x\to 0^+}\sim \substack{\dfrac 1{n^2}\\ n\to +\infty}$
$\lim\limits_{x\to 0^+} x^2\sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac 1x\right\rfloor} k=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac 12$

[Thegooobs]

$\left\lfloor \dfrac 1x\right\rfloor =n\Rightarrow \substack{\displaystyle{x^2} \\ x\to 0^+}\sim \substack{\dfrac 1{n^2}\\ n\to +\infty}$
$\lim\limits_{x\to 0^+} x^2\sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac 1x\right\rfloor} k=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac 12$

Tại sao lại suy ra $\substack{\displaystyle{x^2} \\ x\to 0^+}\sim \substack{\dfrac 1{n^2}\\ n\to +\infty}$? Thầy @hxthanh có thể giải thích không ạ ?

[hxthanh]

$\left\lfloor \dfrac 1x\right\rfloor = n \Leftrightarrow n\le \dfrac 1x<n+1 \Rightarrow \dfrac 1{(n+1)^2}< x^2\le \dfrac 1{n^2}$
Do đó: $\substack{\displaystyle x^2 \\ x\to 0^+}\sim \substack{\dfrac 1{n^2} \\ \frac 1{n^2}\to 0^+}\sim \substack{\dfrac 1{n^2} \\ n\to +\infty}$
Điều này căn cứ vào cái gì đó mình không nhớ lắm