Với $x \in \mathbb{R}$ thì $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ (ta còn gọi $[x]$ là hàm số nguyên lớn nhất)
Từ đó tính giới hạn sau:
$$\lim_{x \to 0^+}x^2\left(1+2+...+\left[\dfrac{1}{x}\right]\right)$$
Lời giải hxthanh, 19-03-2024 - 13:18
$\left\lfloor \dfrac 1x\right\rfloor =n\Rightarrow \substack{\displaystyle{x^2} \\ x\to 0^+}\sim \substack{\dfrac 1{n^2}\\ n\to +\infty}$
$\lim\limits_{x\to 0^+} x^2\sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac 1x\right\rfloor} k=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac 12$
Đi đến bài viết »
$\left\lfloor \dfrac 1x\right\rfloor =n\Rightarrow \substack{\displaystyle{x^2} \\ x\to 0^+}\sim \substack{\dfrac 1{n^2}\\ n\to +\infty}$
$\lim\limits_{x\to 0^+} x^2\sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac 1x\right\rfloor} k=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac 12$
Tại sao lại suy ra $\substack{\displaystyle{x^2} \\ x\to 0^+}\sim \substack{\dfrac 1{n^2}\\ n\to +\infty}$? Thầy @hxthanh có thể giải thích không ạ ?
$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh