Chủ đề này có 2 trả lời

[Giabao209]

giải hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\\ x^8(y+1)+y^8(x+1)=4 \end{matrix}\right.$

----------------------------------

mọi người giúp em với ạ

[MHN]

Có câu này $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2 & \\x^8(x^2+1)+y^8(y^2+1)=4 & \end{matrix}\right.$ giống form đề kia nhưng dễ hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 22-03-2024 - 19:23

[nhancccp]

Đặt $x+y=S,xy=P(S^2 \geq 4P)$ 

Ta có một số biến đổi sau:

☸$x^8+y^8$

$=(x+y)^8-2xy(4[(x+y)^3-3xy(x+y)]^2+8x^3y^3+14xy[[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2]+7x^2y^2[4(x+y)^2-3xy]+35x^3y^3)+102x^4y^4$

$=S^8-2P(4[S^3-3SP]^2+8P^3+14P[[S^2-2P]^2-2P^2]+7P^2[4S^2-3P]+35P^3)+102P^4$

☸$x^7+y^7$

$=(x+y)[[(x+y)^3-3xy(x+y)]^2-2x^3y^3-xy[[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2]+x^2y^2[(x+y)^2-2xy]-x^3y^3]$

$=S[[S^3-3SP]^2-2P^3-P[[S^2-2P]^2-2P^2]+P^2[S^2-2P]-P^3]$

Phương trình thứ hai tương đương với  $ xy(x^7+y^7)+(x^8+y^8)=4\Rightarrow -7 P^4 S + 2 P^4 + 14 P^3 S^3 - 16 P^3 S^2 - 7 P^2 S^5 + 20 P^2 S^4 + P S^7 - 8 P S^6 + S^8=4$

Vậy ta có hệ $\left\{\begin{matrix} & S^2-2P=2\\ & -7 P^4 S + 2 P^4 + 14 P^3 S^3 - 16 P^3 S^2 - 7 P^2 S^5 + 20 P^2 S^4 + P S^7 - 8 P S^6 + S^8=4 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & P=\frac{S^2-2}{2}(1)\\ & 7 P^4 S + 2 P^4 + 14 P^3 S^3 - 16 P^3 S^2 - 7 P^2 S^5 + 20 P^2 S^4 + P S^7 - 8 P S^6 + S^8=4 (2) \end{matrix}\right.$

Thế (1) vào (2) ta được phương trình bậc 9 có nghiệm đẹp$S=2$ và bốn nghiệm xấu

........

(:\ đề có đúng không vậy bạn)

https://www.wolframa...4 and x^2+y^2=2