cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x+y-2\sqrt{x+2}-3\sqrt{y-2014}-2012=0$
tìm $GTNN,GTLN$ của biểu thức $P=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+\frac{2015+2xy\sqrt{x+y+1}}{\sqrt{x+y+1}}$
cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x+y-2\sqrt{x+2}-3\sqrt{y-2014}-2012=0$
tìm $GTNN,GTLN$ của biểu thức $P=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+\frac{2015+2xy\sqrt{x+y+1}}{\sqrt{x+y+1}}$
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
$P = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + \frac{2015}{\sqrt{x+y+1}} + 2xy$
$P = (x+y)^2 -2(x+y) + 2 + \frac{2015}{\sqrt{x+y+1}}$
$P = (x+y+1)^2 - 4(x+y+1) + 5 + \frac{2015}{\sqrt{x+y+1}}$
Đặt $t = \sqrt{x+y+1}, t \geq 0 \Rightarrow P = t^4 - 4t^2 + 5 + \frac{2015}{t}$
Từ giả thiết đặt: $a = \sqrt{x+2} \geq 0, b = \sqrt{y-2014} \geq 0 \Rightarrow x = a^2 - 2, y = b^2 + 2014$
$\Rightarrow a^2 - 2 + b^2 + 2014 = 2a + 3b + 2012$
$\Rightarrow 0 \leq a^2 + b^2 = 2a + 3b \leq \sqrt{13(a^2 + b^2)}$
$\Rightarrow 0 \leq a^2 + b^2 \leq \sqrt{13}, x+y+1 = a^2 + b^2 + 2013 \in [2013;2026]$
$\Rightarrow t = \sqrt{x+y+1} \in [2013;2026] = J$
Xét hàm số $f(t) = t^4 - 4t^2 + 5 + \frac{2015}{t}$ liên tục trên J và có:
$f'(t) = 4t^3 - 8t^2 - \frac{2015}{t^2} = \frac{4t^3(t-2) - 2015}{t^2} > 0 \forall t \in J$
$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên J $\Rightarrow \min_{x \in J} = f(2013)$ và $\max_{x \in J} = f(2026)$
$t = \sqrt{2013} \Rightarrow a^2 + b^2 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2\\ y = 2014 \end{matrix}\right.$
$t = \sqrt{2026} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2 + b^2 = 13\\ \frac{a}{2} = \frac{b}{3} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=2023 \end{matrix}\right.$
Việc còn lại là kết luận thôi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Danpda47: 26-03-2024 - 05:48
LaTeX
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh