Chủ đề này có 1 trả lời

[Hahahahahahahaha]

cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x+y-2\sqrt{x+2}-3\sqrt{y-2014}-2012=0$

tìm $GTNN,GTLN$ của biểu thức $P=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+\frac{2015+2xy\sqrt{x+y+1}}{\sqrt{x+y+1}}$

[Danpda47]

$P = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + \frac{2015}{\sqrt{x+y+1}} + 2xy$
$P = (x+y)^2 -2(x+y) + 2 + \frac{2015}{\sqrt{x+y+1}}$
$P = (x+y+1)^2 - 4(x+y+1) + 5 + \frac{2015}{\sqrt{x+y+1}}$
Đặt $t = \sqrt{x+y+1}, t \geq 0 \Rightarrow P = t^4 - 4t^2 + 5 + \frac{2015}{t}$
Từ giả thiết đặt: $a = \sqrt{x+2} \geq 0, b = \sqrt{y-2014} \geq 0 \Rightarrow x = a^2 - 2, y = b^2 + 2014$
$\Rightarrow a^2 - 2 + b^2 + 2014 = 2a + 3b + 2012$
$\Rightarrow 0 \leq a^2 + b^2 = 2a + 3b \leq \sqrt{13(a^2 + b^2)}$
$\Rightarrow 0 \leq a^2 + b^2 \leq \sqrt{13}, x+y+1 = a^2 + b^2 + 2013 \in [2013;2026]$
$\Rightarrow t = \sqrt{x+y+1} \in [2013;2026] = J$
Xét hàm số $f(t) = t^4 - 4t^2 + 5 + \frac{2015}{t}$ liên tục trên J và có:
$f'(t) = 4t^3 - 8t^2 - \frac{2015}{t^2} = \frac{4t^3(t-2) - 2015}{t^2} > 0 \forall t \in J$
$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên J $\Rightarrow \min_{x \in J} = f(2013)$ và $\max_{x \in J} = f(2026)$
$t = \sqrt{2013} \Rightarrow a^2 + b^2 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2\\ y = 2014 \end{matrix}\right.$
$t = \sqrt{2026} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2 + b^2 = 13\\ \frac{a}{2} = \frac{b}{3} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=2023 \end{matrix}\right.$
Việc còn lại là kết luận thôi     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Danpda47: 26-03-2024 - 05:48
LaTeX