Chủ đề này có 2 trả lời

[Giabao209]

Tìm các số nguyên $m, n$ thỏa mãn $m(m+1)(m+2)=n^2$

[dinhvu]

Suy ra$(m^2+2m)(m+1)=n^2$ mà $(m^2+2m,m+1)=1$ nên $m^2+2m$ là SCP.

[MHN]

Tìm các số nguyên $m, n$ thỏa mãn $m(m+1)(m+2)=n^2$

Ta có: $m(m+1)(m+2)=n^2$$\Rightarrow m(m+1)(m+2)\geq 0\Rightarrow \left[\begin{matrix}m\geq 0\\-2\leq m \leq -1\\\end{matrix}\right.$
Xét: $m\in \left \{ -2;-1;0 \right \}\Rightarrow n=0$
Xét: $m>0\Rightarrow n^2\vdots m\Rightarrow n\vdots m\Rightarrow n=km\left ( k\in \mathbb{N^*} \right )$
$\Rightarrow m(m+1)(m+2)=k^2m^2\Leftrightarrow (m+1)(m+2)=mk^2$
Ta có:$\left ( m;m+1 \right )=1\Rightarrow k^2\vdots (m+1)\Rightarrow k\vdots (m+1)\Rightarrow k=a(m+1)$ với $(a\in \mathbb{N^*})$
$\Rightarrow (m+1)(m+2)=m(m+1)^2a^2\Leftrightarrow m+2=m(m+1)a^2\Leftrightarrow (m+1)(ma^2-1)=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m+1=1 & \\ ma^2-1=1 & \end{matrix}\right.$
($PTVN$ vì $m>0$)
Vậy phương trình có nghiệm là: $\left ( m;n \right )\in \left \{ (-2;0);(-1;0);(0;0) \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 31-03-2024 - 09:10