Cho a,b,c là các số thực đôi một phân biệt, CMR $\sum \frac{a^{2}+2ab}{(a-b)^{2}} \geq \frac{2}{3}$
$\sum \frac{a^{2}+2ab}{(a-b)^{2}} \geq \frac{2}{3}$
Bắt đầu bởi npthao0910, 07-04-2024 - 15:04
#2
Đã gửi 21-04-2024 - 21:34
nhungvienkimcuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 678 Bài viết
Thiếu úy
Cho a,b,c là các số thực đôi một phân biệt, CMR $\sum \frac{a^{2}+2ab}{(a-b)^{2}} \geq \frac{2}{3}$
Chú ý rằng $\frac{a^2+2ab}{(a-b)^2}+\frac{1}{3}=\frac{(2a+b)^2}{3(a-b)^2}$, do vậy ta cần chứng minh
\[\left ( \frac{2a+b}{a-b} \right )^2+\left ( \frac{2b+c}{b-c} \right )^2+\left ( \frac{2c+a}{c-a} \right )^2\ge 5.\]
Đặt $x=\frac{2a+b}{a-b},y=\frac{2b+c}{b-c},z= \frac{2c+a}{c-a}$ thì
\[(x+1)(y+1)(z+1)=(x-2)(y-2)(z-2)\implies xy+yz+zx+3=x+y+z.\]
Khi đó
\begin{align*}x^2+y^2+z^2&=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\\ &=(x+y+z)^2-2(x+y+z-3)=(x+y+z-1)^2+5\ge 5.\end{align*}
Như vậy giải quyết bài toán hoàn toàn, dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi $a=-1,b=2$ và $c=0$.
Ghi chú. Cách xử lí này nổi tiếng với bài IMO 2008 và một số bất đẳng thức Đào Hải Long.
- hxthanh, Duc3290 và Hahahahahahahaha thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em 
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh 
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
