Chủ đề này có 1 trả lời

[Giabao209]

tìm số nguyên dương $x, y$ và số nguyên tố $p$ sao cho:

$2^x\cdot p^2+27=y^3$

[tomeps]

$2^x p^2 = (y-3)(y^2 + 3y + 9)$

Giả sử $y$ chẵn thì $VP \not \vdots 2$. Như vậy $x = 0$. Mà $x$ nguyên dương nên $y$ không chẵn, tức $y$ lẻ.

Nếu $y$ lẻ thì $y^2 + 3y + 9$ lẻ. Mà $2^x$ chẵn, nên có hai trường hợp.

Th1: $y-3 = 2^x (1) \Rightarrow y > 4$
$\Rightarrow y^2 + 3y + 9$ là số chính phương
Có: $y^2 + 2y + 1 < y^2 + 3y + 9$
Nếu $y^2 + 3y + 9 < y^2 + 4y + 4 \Rightarrow \not \exists y$ (số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp)
$\Rightarrow 3y + 9 \ge 4y + 4$
$\Rightarrow y \le 5$
Mà $(1), (2)$ nên $y = 5$

Th2: $y-3 = 2^x p$
$\Rightarrow y^2 + 3y + 9 = p$
$\Rightarrow y -3 = 2^x (y^2 + 3y + 9)$
Mà $y - 3 < y^2 + 3y + 9$
Nên trường hợp này không xảy ra.

Vậy PT có nghiệm duy nhất:
$x = 2; y = 5; p = 7$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-04-2024 - 15:13
LaTeX