Cho các số thực $a;b$ không âm thỏa mãn: $a^2+4b=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=a+b+\frac{2024}{a+b}.$$
Edited by MHN, 17-04-2024 - 17:32.
Best Answer William Nguyen, 17-04-2024 - 21:11
Phân tích:
Định hướng tách $\frac{2024}{a+b} = \frac{m}{a+b}+\frac{n}{a+b}$ rồi dùng Cauchy và còn biểu thức $a+b$ đi tìm GTLN hoặc GTNN.
Với giả thiết $a^2+4b=8$ ta có:
$4.(a+b)=4a+8-a^2=12-(a-2)^2 \leq 12 \Rightarrow a+b \leq 3$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2, b=1$
Khi đó ta sẽ có $(a+b)^2=9 \Rightarrow a+b=\frac{9}{a+b}$.
Như vậy có được lời giải như sau:
$P= (a+b)+\frac{9}{a+b}+\frac{2015}{a+b}$
Áp dụng bđt Cauchy, với $a, b$ không âm ta có:
$(a+b)+\frac{9}{a+b} \geq 6$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a+b=3$
Với giả thiết $a^2+4b=8$ và $a, b$ không âm ta có:
$4.(a+b)=4a+8-a^2=12-(a-2)^2 \leq 12 \Rightarrow a+b \leq 3 \Rightarrow \frac{2015}{a+b} \geq \frac{2015}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2, b=1$
Từ đó có $min P = \frac{2033}{3}$ tại $a=2, b=1$
Go to the full post »Cho các số thực $a;b$ không âm thỏa mãn: $a^2+4b=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=a+b+\frac{2024}{a+b}.$$
Edited by MHN, 17-04-2024 - 17:32.
Phân tích:
Định hướng tách $\frac{2024}{a+b} = \frac{m}{a+b}+\frac{n}{a+b}$ rồi dùng Cauchy và còn biểu thức $a+b$ đi tìm GTLN hoặc GTNN.
Với giả thiết $a^2+4b=8$ ta có:
$4.(a+b)=4a+8-a^2=12-(a-2)^2 \leq 12 \Rightarrow a+b \leq 3$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2, b=1$
Khi đó ta sẽ có $(a+b)^2=9 \Rightarrow a+b=\frac{9}{a+b}$.
Như vậy có được lời giải như sau:
$P= (a+b)+\frac{9}{a+b}+\frac{2015}{a+b}$
Áp dụng bđt Cauchy, với $a, b$ không âm ta có:
$(a+b)+\frac{9}{a+b} \geq 6$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a+b=3$
Với giả thiết $a^2+4b=8$ và $a, b$ không âm ta có:
$4.(a+b)=4a+8-a^2=12-(a-2)^2 \leq 12 \Rightarrow a+b \leq 3 \Rightarrow \frac{2015}{a+b} \geq \frac{2015}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2, b=1$
Từ đó có $min P = \frac{2033}{3}$ tại $a=2, b=1$
Ta cũng có thể lập luận như sau đều giống của anh William Nguyen:Phân tích:
Với giả thiết $a^2+4b=8$ và $a, b$ không âm ta có:
$4.(a+b)=4a+8-a^2=12-(a-2)^2 \leq 12 \Rightarrow a+b \leq 3$
Edited by MHN, 17-04-2024 - 22:25.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users