Chủ đề này có 2 trả lời

[MHN]

Cho các số thực $a;b$ không âm thỏa mãn: $a^2+4b=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=a+b+\frac{2024}{a+b}.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 17-04-2024 - 17:32

[William Nguyen]

Lời giải

Phân tích:

 

Định hướng tách $\frac{2024}{a+b} = \frac{m}{a+b}+\frac{n}{a+b}$ rồi dùng Cauchy và còn biểu thức $a+b$ đi tìm GTLN hoặc GTNN.

 

Với giả thiết $a^2+4b=8$ ta có:

$4.(a+b)=4a+8-a^2=12-(a-2)^2 \leq 12 \Rightarrow a+b \leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2, b=1$

 

Khi đó ta sẽ có $(a+b)^2=9 \Rightarrow a+b=\frac{9}{a+b}$.

 

Như vậy có được lời giải như sau:

 

$P= (a+b)+\frac{9}{a+b}+\frac{2015}{a+b}$

 

Áp dụng bđt Cauchy, với $a, b$ không âm ta có:

$(a+b)+\frac{9}{a+b} \geq 6$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a+b=3$

 

Với giả thiết $a^2+4b=8$ và $a, b$ không âm ta có:

$4.(a+b)=4a+8-a^2=12-(a-2)^2 \leq 12 \Rightarrow a+b \leq 3 \Rightarrow \frac{2015}{a+b} \geq \frac{2015}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2, b=1$

 

Từ đó có $min P = \frac{2033}{3}$ tại $a=2, b=1$

[MHN]

Phân tích:
Với giả thiết $a^2+4b=8$ và $a, b$ không âm ta có:
$4.(a+b)=4a+8-a^2=12-(a-2)^2 \leq 12 \Rightarrow a+b \leq 3$

Ta cũng có thể lập luận như sau đều giống của anh William Nguyen:
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $a^2+4\geq 4a$. Dấu $'='$ xảy ra khi: $a=2$
Kết hợp giả thiết bài toán ta có: $4a+4b\leq 4+a^2+4b=4+8=12$
$\Rightarrow 0<a+b\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 17-04-2024 - 22:25