4 replies to this topic

[npthao0910]

Tồn tại hay không các số hữu tỷ $x,y$ sao cho $x^{2} + y^{2} =7$

Edited by perfectstrong, 18-04-2024 - 02:52.
Tiêu đề & Bài viết

[Duc3290]

Giả sử tồn tại các số hữu tỷ $x,y$ thỏa mãn đề bài

Đặt $x = \frac{a}{c}, y= \frac{b}{c}$ với $a,b,c \in \mathbb{Z}; c \not = 0; (a,b,c)=1$

Giả thiết trở thành $a^2+b^2=7c^2 \Rightarrow a^2+b^2 \vdots 7$

Mà $a^2,b^2 \equiv 0,1,2,4 (mod 7)$ nên ta phải có $\begin{cases} a^2 \vdots 7 \\ b^2 \vdots 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \vdots 7 \\ b \vdots 7 \end{cases}$

Từ đó ta có $7c^2 = a^2+b^2 \vdots 49 \Rightarrow c \vdots 7 \Rightarrow $ vô lý vì $(a,b,c)=1$.

Vậy câu trả lời là phủ định

 

[npthao0910]

Giả sử tồn tại các số hữu tỷ $x,y$ thỏa mãn đề bài

Đặt $x = \frac{a}{c}, y= \frac{b}{c}$ với $a,b,c \in \mathbb{Z}; c \not = 0; (a,b,c)=1$

Giả thiết trở thành $a^2+b^2=7c^2 \Rightarrow a^2+b^2 \vdots 7$

Mà $a^2,b^2 \equiv 0,1,2,4 (mod 7)$ nên ta phải có $\begin{cases} a^2 \vdots 7 \\ b^2 \vdots 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \vdots 7 \\ b \vdots 7 \end{cases}$

Từ đó ta có $7c^2 = a^2+b^2 \vdots 49 \Rightarrow c \vdots 7 \Rightarrow $ vô lý vì $(a,b,c)=1$.

Vậy câu trả lời là phủ định

Cho em hỏi tại sao lại đặt đc x và y dưới dạng phân số có cùng mẫu số c như thế ạ ??

[duong966123]

Cho em hỏi tại sao lại đặt đc x và y dưới dạng phân số có cùng mẫu số c như thế ạ ??

đấy là một cách làm để xét tính chia hết

[literallyme]

Cho em hỏi tại sao lại đặt đc x và y dưới dạng phân số có cùng mẫu số c như thế ạ ??

Đó là vì với hai phân số bất kỳ, luôn có thể quy đồng mẫu số.

Nhưng quả đúng là việc đặt hai phân số có cùng mẫu số ngay từ đầu là vắn tắt quá.

 

Nếu viết đầy đủ ra thì mình viết thế này. Đặt $x = \frac{x_{1}}{x_{2}}$, $y = \frac{y_{1}}{y_{2}}$ ($x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$ là các số nguyên và $x_{2}\ne 0, y_{2}\ne 0$). Quy đồng mẫu số, $x = \frac{x_{1}y_{2}}{x_{2}y_{2}}, y = \frac{x_{2}y_{1}}{x_{2}y_{2}}$. Đến đây thì đặt $a = x_{1}y_{2}, b = x_{2}y_{1}, c = x_{2}y_{2}$ thì chúng ta thu được $\frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} = 7$, hay $a^{2} + b^{2} = 7c^{2}$.

Edited by literallyme, 19-04-2024 - 23:30.