Chủ đề này có 1 trả lời

[nonamebroy]

Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O), (A, B là các tiếp điểm). Qua M vẽ đường thẳng cắt đường tròn tại C và D sao cho MC<MD hai điểm A và O khác phía so với đường thẳng MD. Gọi K là trung điểm của dây CD. Vẽ đường kính AN của (O); NC và ND cắt đường thẳng MO lần lượt tại P và Q. Chứng minh PQ.CB=DC.QN và O là trung điểm của PQ.

 

[MHN]

Lời giải

Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O), (A, B là các tiếp điểm). Qua M vẽ đường thẳng cắt đường tròn tại C và D sao cho MC<MD hai điểm A và O khác phía so với đường thẳng MD. Gọi K là trung điểm của dây CD. Vẽ đường kính AN của (O); NC và ND cắt đường thẳng MO lần lượt tại P và Q. Chứng minh PQ.CB=DC.QN và O là trung điểm của PQ.

Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có: $\left\{\begin{matrix} MA=MB & \\OA=OB & \end{matrix}\right.\Rightarrow MO$ là đường trung trực của $AB$$\Rightarrow MO\bot AB$
Mà: $\widehat{ABN}=90^o\Rightarrow BN\bot AB\Rightarrow MO//BN\Rightarrow \widehat{BNC}=\widehat{NPQ}$
Lại có: $\widehat{BNC}=\widehat{BDC}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {BC}^{\displaystyle\frown}$$\Rightarrow \widehat{NPQ}=\widehat{BDC}$
$\widehat{PNQ}=\widehat{DBC}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {CAD}^{\displaystyle\frown}$
$\Rightarrow \Delta PQN\sim \Delta DCB(g-g)\Rightarrow \frac{PQ}{DC}=\frac{QN}{BC}\Rightarrow PQ.BC=QN.DC$
Mặt khác: $\widehat{MBO}=\widehat{MKO}=90^o\Rightarrow MKOB$ nội tiếp.$\widehat{MKB}=\widehat{MOB}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {BM}^{\displaystyle\frown}$
Mà: $\widehat{MOA}=\widehat{MOB};\widehat{MOA}=\widehat{QON}\Rightarrow \widehat{MOB}=\widehat{QON}$
$\Rightarrow \widehat{MKB}=\widehat{QON}$
Kết hợp: $\widehat{OQN}=\widehat{KCB}(\Delta PQN\sim \Delta DCB)$$\Rightarrow \Delta QON\sim \Delta CKB(g-g)\Rightarrow \frac{QO}{CK}=\frac{QN}{BC}$
Mà:$\frac{PQ}{DC}=\frac{QN}{BC}\Rightarrow \frac{QO}{CK}=\frac{PQ}{DC}\Rightarrow \frac{QO}{CK}=\frac{PQ}{2CK}\Rightarrow QO=\frac{PQ}{2}$
$\Rightarrow O$ là trung điểm $PQ$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 18-04-2024 - 17:20