Chủ đề này có 3 trả lời

[Hai-Binh LE]

Bài toán: Tìm số tự nhiên $m$ có ba chữ số để $m(m+1) \vdots 1000$

 

Con mình có bài tập về nhà thế này mà lâu rồi không đụng vào toán nên nhờ các bạn tìm giúp hướng giải.

Chân thành cảm ơn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-04-2024 - 20:50
Tiêu đề & Bài viết

[Leonguyen]

Lời giải

Một lời giải thủ công. Bác tham khảo ạ.

Ta lưu ý các điều sau:

        $1000=2^3.5^3$

        Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho $8.$

Trong ba số $m,m+1,m+2$ chỉ có thể có một số chia hết cho $5,$ và số đó cũng chia hết cho $125.$

Do đó trong ba số $m,m+1,m+2$ luôn có một số thuộc tập hợp $\{125,250,375,500,625,750,875,1000\}.$

 

TH1. $m,m+1,m+2$ có một số thuộc tập hợp $B=\{125,375,625,875\}.$

Nếu $m+1\in B$ thì $m$ và $m+2$ là hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho $8.$ Vì vậy nên $m(m+1)(m+2)$ chia hết cho $1000$ thoả điều kiện. Do vậy tìm được các số $m$ thoả mãn là $124,374,624,874.$

Nếu $m \in B$ thì $(m,m+1,m+2)$ $=(125,126,127),$ $(375,376,377),$ $(625,626,627),$ $(875,876,877).$ Chỉ có $m=375$ thoả mãn điều kiện. 

Nếu $m+2\in B$ thì $(m,m+1,m+2)$ $=(123,124,125),$ $(373,374,375),$ $(623,624,625),$ $(873,874,875).$ Chỉ có $m=623$ thoả mãn điều kiện. 

 

TH2. $m,m+1,m+2$ có một số thuộc tập hợp $C=\{250,500,750\}.$

Nếu $m+1\in C$ thì $m$ và $m+2$ là hai số lẻ, do đó $m(m+1)(m+2)$ không chia hết cho $1000.$

Nếu $m \in C$ hoặc $m+2 \in C$ thì chắc chắn $m(m+2)$ chia hết cho $1000.$ Do vậy tìm được các số $m$ thoả mãn là $248,250,498,500,748,750.$

 

TH3. $m,m+1,m+2$ có một số bằng $1000.$ Để $m$ là số có ba chữ số thì chỉ có $m+1=1000$ hoặc $m+2=1000.$ Do vậy tìm được các số $m$ thoả mãn là $998,999.$

Vậy $m\in \{124,248,250,374,375,498,500,623,624,748,750,874,998,999\}.$

 

@perfectstrong Anh sửa nhầm đề rồi kìa. Đề là $m(m+1)(m+2)$ ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 30-04-2024 - 22:49

[perfectstrong]

@perfectstrong Anh sửa nhầm đề rồi kìa. Đề là $m(m+1)(m+2)$ ạ.

Bạn chủ topic nhắn mình là sửa thành $m(m+1)$.

[Hai-Binh LE]

Một lời giải thủ công. Bác tham khảo ạ.

Ta lưu ý các điều sau:

        $1000=2^3.5^3$

        Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho $8.$

Trong ba số $m,m+1,m+2$ chỉ có thể có một số chia hết cho $5,$ và số đó cũng chia hết cho $125.$

Do đó trong ba số $m,m+1,m+2$ luôn có một số thuộc tập hợp $\{125,250,375,500,625,750,875,1000\}.$

 

TH1. $m,m+1,m+2$ có một số thuộc tập hợp $B=\{125,375,625,875\}.$

Nếu $m+1\in B$ thì $m$ và $m+2$ là hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho $8.$ Vì vậy nên $m(m+1)(m+2)$ chia hết cho $1000$ thoả điều kiện. Do vậy tìm được các số $m$ thoả mãn là $124,374,624,874.$

Nếu $m \in B$ thì $(m,m+1,m+2)$ $=(125,126,127),$ $(375,376,377),$ $(625,626,627),$ $(875,876,877).$ Chỉ có $m=375$ thoả mãn điều kiện. 

Nếu $m+2\in B$ thì $(m,m+1,m+2)$ $=(123,124,125),$ $(373,374,375),$ $(623,624,625),$ $(873,874,875).$ Chỉ có $m=623$ thoả mãn điều kiện. 

 

TH2. $m,m+1,m+2$ có một số thuộc tập hợp $C=\{250,500,750\}.$

Nếu $m+1\in C$ thì $m$ và $m+2$ là hai số lẻ, do đó $m(m+1)(m+2)$ không chia hết cho $1000.$

Nếu $m \in C$ hoặc $m+2 \in C$ thì chắc chắn $m(m+2)$ chia hết cho $1000.$ Do vậy tìm được các số $m$ thoả mãn là $248,250,498,500,748,750.$

 

TH3. $m,m+1,m+2$ có một số bằng $1000.$ Để $m$ là số có ba chữ số thì chỉ có $m+1=1000$ hoặc $m+2=1000.$ Do vậy tìm được các số $m$ thoả mãn là $998,999.$

Vậy $m\in \{124,248,250,374,375,498,500,623,624,748,750,874,998,999\}.$

 

@perfectstrong Anh sửa nhầm đề rồi kìa. Đề là $m(m+1)(m+2)$ ạ.

 

Cảm ơn bạn nhé! Đề bài có 2 phần là tích hai số nguyên liên tiếp từ m chia hết cho 1000 và phần tiếp theo là tích ba số nguyên liên tiếp từ m chia hết cho 1000. Mình chỉ định nhờ các bạn giúp mình phần đầu, phần sau minh sẽ dựa vào phương pháp tiếp cận tương tự để giải. 

 

Cách giải này cũng dễ để giảng lại cho học sinh lớp 6 hiểu. Cảm ơn bạn nhiều nhé!

 

P.S. Mình dùng máy tính để tìm thì thấy để $m(m+1)$ chia hết cho 1000 thì chỉ có 2 giá trị của $m = 376$ và $m = 625$ trong khi với $m(m+1)(m+2)$ thì tập giá trị $m$ lại lớn hơn. Khá thú vị :-)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hai-Binh LE: 01-05-2024 - 02:00