Chủ đề này có 1 trả lời

[Khanh12321]

Cho số nguyên tố p lớn hơn 3 và hai số nguyên dương a,b sao cho $p^{2}+a^{2}=b^{2}$ . Chứng minh a chia hết cho 12

[Hahahahahahahaha]

$=>p^{2}=(b+a)(b-a)$

vi $p$ là số nguyên tố nên $p^{2}$ có $3$ ước là $1;p;p^{2}$

do $a,b$ là số nguyên dương nên $b+a>b-a$

nên chỉ xảy ra trường hợp:

$\left\{\begin{matrix}b+a=p^{2} &  & \\ b-a=1 &  & \end{matrix}\right.=>2a=p^{2}-1$

do $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ có dạng $3k+1;3k+2(k\in N, k\neq 0)$

$=>p^{2}\equiv 1(mod 3)=>2a\vdots 3=>a\vdots 3(1)$

ngoài ra do $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p-1;p+1$ là 2 số chẵn liên tiếp 

$=>2a\vdots 8=>a\vdots 4(2)$

$(1),(2)=>dpcm$