Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenhuybao06]

Cho các số thực dương $a,b,c.$ Chứng minh rằng $$\sum\sqrt{\frac{2ab}{a^2+b^2}}+\frac{3\sum a^2}{\sum ab}\geq6.$$

[Hoang Long Le]

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có $\sum\sqrt{\dfrac{2ab}{a^2+b^2}}\geq 4\sum \dfrac{ab}{(a+b)^2}$, ta sẽ đi chứng minh

\[4\sum \dfrac{ab}{(a+b)^2}+\dfrac{3\sum a^2}{\sum ab}\geq 6\text{ hay }\sum ab\sum \dfrac{ab}{(a+b)^2}+\dfrac{3}{4}\sum a^2\geq \dfrac{3}{2}\sum ab.\]

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức Schur:

\[\sum ab\sum \dfrac{ab}{(a+b)^2}=\sum \dfrac{(ab)^2}{(a+b)^2}+abc\sum \dfrac{1}{a+b}\geq \dfrac{(\sum ab)^2}{\sum (a+b)^2}+\dfrac{9abc}{2\sum a}\geq \dfrac{(\sum ab)^2}{\sum (a+b)^2}+\dfrac{1}{2}\left(2\sum ab-\sum a^2\right).\]

Đặt $x=\sum a^2$ và $y=\sum ab$, khi đó,

\[ \dfrac{(\sum ab)^2}{\sum (a+b)^2}+\dfrac{1}{2}\left(2\sum ab-\sum a^2\right)+\dfrac{3}{4}\sum a^2-\dfrac{3}{2}\sum ab=\dfrac{y^2}{2(x+y)}+\dfrac{x}{4}-\dfrac{y}{2}=\dfrac{x(x-y)}{4(x+y)}\geq 0.\]

[nguyenhuybao06]

Một hướng đi khác sử dụng khai triển Abel. 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $$\sum\sqrt{\frac{2ab}{a^2+b^2}}=\sum\frac{2ab}{\sqrt{2ab(a^2+b^2)}}\geq\frac{4ab}{(a+b)^2}=3-\sum\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}.$$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $$\frac{3\sum a^2}{\sum ab}\geq3+\sum\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\Leftrightarrow\frac{3}{2}\frac{\sum (a-b)^2}{\sum ab}\geq\sum\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\Leftrightarrow\sum(a-b)^2\left[ \frac{3}{2\sum ab}-\frac{1}{(a+b)^2}\right]\geq0 .$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $$\sum(a-b)^2\left[ \frac{3}{2\sum ab}-\frac{1}{(a+b)^2}\right]=\sum(a-b)^2\left[ \frac{3(a+b)^2-2\sum ab}{2(\sum ab)(a+b)^2}\right]\geq\sum(a-b)^2\left[ \frac{\frac{10}{4}(a+b)^2-2c(a+b)}{2(\sum ab)(a+b)^2}\right]$$ 

$$=\sum(a-b)^2\left[ \frac{(5a+5b-4c)(a+b)}{4(\sum ab)(a+b)^2}\right]=\sum\frac{(a-b)^2(5a+5b-4c)}{4(\sum ab)(a+b)}.$$

Ta chỉ cần chứng minh $$\sum\frac{(a-b)^2(5a+5b-4c)}{a+b}\geq0.$$

Bất đẳng thức viết lại thành $$\frac{b-a}{a+b}(b-a)(5a+5b-4c)+\frac{b-c}{b+c}(b-c)(5b+5c-4a)+\frac{c-a}{c+a}(c-a)(5c+5a-4b)\geq0.$$ 

Đặt $\left(\dfrac{b-a}{a+b}, \dfrac{b-c}{b+c}, \dfrac{c-a}{c+a} \right)=(y,z,x).$ 

Và $(A,B,C)=\left((c-a)(5c+5a-4b),(b-a)(5a+5b-4c),(b-c)(5b+5c-4a) \right). $ 

Ta có $$x+y+z=\dfrac{b-a}{a+b}+ \dfrac{b-c}{b+c}+ \dfrac{c-a}{c+a}=\frac{(b-a)(ab+3ac+3bc+c^2)}{\prod(a+b)}.$$

Lại có $$A-B=(c-a)(5c+5a-4b)-(a-b)(5a+5b-4c)=(c-b)(5b+5c-4a)\geq0$$ và

$$B-C=(a-b)(5a+5b-4c)-(b-c)(5b+5c-4a)=(c-a)(5c+5a-4b)\geq0.$$

Do đó $A\geq B\geq C$ mà $z\leq0$ và $x+y+z\geq0$ nên theo khai triển Abel mở rộng ta có điều phải chứng minh.

[nguyenhuybao06]

Cho các số thực dương $a,b,c.$ Chứng minh rằng $$\sum\sqrt{\frac{2ab}{a^2+b^2}}+\frac{3\sum a^2}{\sum ab}\geq6.$$

Chặt hơn một chút.

Cho các số thực dương $a,b,c.$ Chứng minh rằng $$\sum\sqrt{\frac{2ab}{a^2+b^2}}+\frac{3\sum a^2}{2\sum ab}\geq\frac{9}{2}.$$