Chủ đề này có 2 trả lời

[tritanngo99]

Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $(a,b)$ thoả mãn: $ab-1$ là ước của $a^2+1$

[ordinaryperson]

Lời giải

$a^2+1\vdots ab-1$( ab khác 1)

$\Rightarrow a^2+ab\vdots ab-1\Rightarrow a(a+b)\vdots ab-1$

Vì $(a,ab-1=1)$ nên $a+b\vdots a^2+1$

$\Rightarrow a+b\vdots ab-1\Rightarrow a+b\geq ab-1$

$\Rightarrow a+b-ab+1\geq 0$

$\Rightarrow (a-1)(1-b)+2\geq 0$

Với a=0 , thỏa mãn với mọi b

Với a=1 suy ra b=3

Với $a> 1\Rightarrow b\leq 3$

tiếp tục xét 

b=0 (TM với mọi a )

b=1 suy ra a=2 hoặc 3

b=2 suy ra a=2 hoặc 1

Vậy bộ số (a,b) cần tìm là$(0;\mathbb{N}),(\mathbb{N};0),(1;3),(2;1),(3;1),(2;2),(1;2)$

[trgiangnb]

$ab-1|a^2 +1 \Rightarrow ab-1|a^2+ab \Rightarrow ab-1|a(a+b)$

nếu $ab-1|a \Rightarrow ab-1|ab \Rightarrow 1|ab-1 \Rightarrow a=b=1$ (ktm)

$\Rightarrow ab-1|a+b \Rightarrow a+b \ge ab-1 \Rightarrow 1 \le (a-1)(b-1) \le 2$

nếu $(a-1)(b-1)=1 \Rightarrow a=b=2$ (thay vào ktm) hoặc $a=b=0$(tm)

nếu $(a-1)(b-1)=2 \Rightarrow a=3$ và $b=2$(thay vào ktm) hoặc $a=2$ và $b=3$ (tm)

vậy $(a;b) \in \{(0;0);(2;3)\}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-05-2024 - 16:06
LaTeX