Chủ đề này có 4 trả lời

[Khanh12321]

Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên:A=$\frac{x^{3}+3x-5}{x^{2}+2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khanh12321: 12-05-2024 - 12:38

[tomeps]

Giả sử x là một số nguyên… Trường hợp x hữu tỉ mình xin nhờ các bạn khác.
Ta có:
$A=x+\frac{x-5}{x^2+2}$
Như vậy để $A$ nguyên thì $\frac{x-5}{x^2+2}$ nguyên; đặt phân số đó bằng $k$.
Ta có: $kx^2-x+2k+5=0$ (1)
Để $x$ nguyên thì $\Delta(1)$ phải là một số chính phương.
$\Delta(1)=-8k^2-20k+1=n^2$
Mà $k$ nguyên, nên: $k=0\Rightarrow x=5$
Thử lại, ta nhận giá trị $x=5$. Khi đó $A=5$

[Khanh12321]

c

 

Giả sử x là một số nguyên… Trường hợp x hữu tỉ mình xin nhờ các bạn khác.
Ta có:
$A=x+\frac{x-5}{x^2+2}$
Như vậy để $A$ nguyên thì $\frac{x-5}{x^2+2}$ nguyên; đặt phân số đó bằng $k$.
Ta có: $kx^2-x+2k+5=0$ (1)
Để $x$ nguyên thì $\Delta(1)$ phải là một số chính phương.
$\Delta(1)=-8k^2-20k+1=n^2$
Mà $k$ nguyên, nên: $k=0\Rightarrow x=5$
Thử lại, ta nhận giá trị $x=5$. Khi đó $A=5$

cảm ơn bạn nhiều,đề là x nguyên,mình viết thiếu á

[dinhvu]

Thực ra $x$ thuộc $Q$ thì ta đặt $x=\frac{a}{b}$ với $a,b$ nguyên, $b>0$ $(a,b)=1$               
Do đó ta có $A=\frac{a^3+3ab^2-5b^3}{a^2b+2b^3}$ nên $a$ chia hết cho $b$ hay $b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 12-05-2024 - 22:47

[perfectstrong]

Thực ra $x$ thuộc $Q$ thì ta đặt $x=\frac{a}{b}$ với $a,b$ nguyên, $b>0$ $(a,b)=1$               
Do đó ta có $A=\frac{a^3+3ab^2-5b^3}{a^2b+2b^3}$ nên $a$ chia hết cho $b$ hay $b=1$

Có thể lập luận khác đi một tí:

\[A = \frac{{{x^3} + 3x - 5}}{{{x^2} + 2}} \Leftrightarrow {x^3} - A{x^2} + \left( {3 - 2A} \right)x - 5 = 0 \quad (1)\]

Giả sử tồn tại $A$ nguyên để phương trình $(1)$ có nghiệm $x \in \mathbb Q$. Ta có một bổ đề về nghiệm của đa thức nguyên như sau:

Bổ đề

Cho đa thức hệ số nguyên $P(x)=a_0+a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n$. Nếu $P(x)$ có nghiệm hữu tỷ $x_0 = \frac{p}{q} (p, q\in \mathbb Z, q \ne 0, (p,q)=1)$ thì $p|a_0$ và $q|a_n$.

Áp dụng vào phương trình $(1)$: đặt $x=\frac{a}{b} (a,b\in \mathbb Z, b \ne 0, (a,b)=1)$ thì theo bổ đề trên, ta có $b|1$ và $a|-5$. Tức $x$ là số nguyên, và $x | 5$. Tới đây lại thử như cũ.