Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenhuybao06]

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $\sum a^2=1.$ Chứng minh rằng $$\sum \sqrt{a+b}\ge 2+abc.$$

Làm chặt hơn một chút...

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $\sum a^2=1.$ Chứng minh rằng $$\sum \sqrt{a+b}\ge 2+2abc.$$

P/s: Hệ số của $abc$ tốt nhất cho bài này mà mình tìm được là $\sqrt{4+\left(\sqrt{7}-1\right)\left(\sqrt{3}+7\right)}-2.$

Bạn nào tìm được hệ số chặt hơn có thể gửi lên đây để mọi người cùng giải nhé! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuybao06: 14-05-2024 - 00:54

[dinhvu]

Ta có $(\sum \sqrt{a+b})^2=2\sum a+2\sum \sqrt{(a+b)(b+c)}\geq 2(a+b+c)+2(a+b+c+\sum \sqrt{ab})$
$=4(a+b+c)+2\sum \sqrt{ab}(a^2+b^2+c^2)\ge 4+18abc \ge 4a^2b^2c^2+4+8abc\ge (2abc+2)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 14-05-2024 - 01:24

[dinhvu]

Hệ số tốt nhất khi cho $a=b=c$ nhưng mình chưa cminh đc  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 14-05-2024 - 01:17

[tomeps]

P/s: Hệ số của $abc$ tốt nhất cho bài này mà mình tìm được là $\sqrt{4+\left(\sqrt{7}-1\right)\left(\sqrt{3}+7\right)}-2.$
Bạn nào tìm được hệ số chặt hơn có thể gửi lên đây để mọi người cùng giải nhé!

Cho mình hỏi với, làm cách nào để bạn tìm ra hệ số này thế? Và làm cách nào để vận dụng hệ số này vào bài toán? Mình chưa biết phần này, mong bạn chỉ giáo.