Chủ đề này có 6 trả lời

[suhaoswag]

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) với AB < AC  và $\angle BAC = 60^{\circ}$. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác  ABC. Đường thẳng BI cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng CI cắt đường thẳng AB tại F

1) Chứng minh đường thẳng OI song song với đường thẳng EF

2) Đường thẳng BC cắt đường thẳng OJ tại G. Chứng minh rằng tam giác AGJ là tam giác cân.

3) Gọi H là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng OJ. Chứng minh $\frac{GO}{GH}=\frac{R}{r_{a}}$ trong đó $r_{a}$ là bán kính của đường tròn bàng tiếp trong góc A của $\Delta$ABC

[tritanngo99]

Tạm thời chưa nghĩ được câu nào, nên mình xin up hình trước để mọi người cùng tiện theo dõi ạ

[minhduc38]

(a) Bổ đề : Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I), J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A. BI,CI cắt AC,AB tại E,F. thì ta luôn có OJ vuông góc EF

Chứng minh (phỏng theo cách thầy Hùng)

Gọi BE,CF cắt (O) tại K,L. Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Ta có một số kết quả sau : BE.BK = ac, $\frac{IE}{BE} = \frac{b}{a + b + c}$ suy ra IE.BK = $\frac{abc}{a + b + c}$

Tương tự suy ra IE.BK = IF.CL nên $\frac{BK}{CL} = \frac{IF}{IE}$. 

Gọi JB, JC cắt (O) tại G, H. Gọi M, N là trung điểm BG, CH. Do $BI \perp BJ, CI \perp CJ$ nên KG, LH là đường kính của (O). Theo đường trung bình có : $\frac{OM}{ON} = \frac{2BK}{2CL} = \frac{IF}{IE}$. Lại có : $\angle MON = 180 - \angle BJC = \angle BIC = \angle FIE$ nên $\Delta OMN \sim \Delta IFE$ suy ra $\angle IFE = \angle OMN = \angle OJC$. Gọi OJ cắt EF ở D. Ta có : $\angle DFC = \angle DJC$ nên D,F,C,J đồng viên và từ đó : $\angle FDJ = \angle FCJ = 90$ suy ra $OJ \perp EF$ (xong)

Trở lại bài toán : Ta có : $\angle BIC = 90 + \frac{\angle BAC}{2} = 120 = \angle BOC$ nên B,I,O,C cùng thuộc đường tròn đường kính IJ nên $OI \perp OJ$ mà theo bổ đề ta có : $OJ \perp EF$ nên $OI \parallel EF$ (đpcm)

[nguyenhuybao06]

(a) Bổ đề : Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I), J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A. BI,CI cắt AC,AB tại E,F. thì ta luôn có OJ vuông góc EF

Chứng minh (phỏng theo cách thầy Hùng)

Gọi BE,CF cắt (O) tại K,L. Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Ta có một số kết quả sau : BE.BK = ac, $\frac{IE}{BE} = \frac{b}{a + b + c}$ suy ra IE.BK = $\frac{abc}{a + b + c}$

Tương tự suy ra IE.BK = IF.CL nên $\frac{BK}{CL} = \frac{IF}{IE}$. 

Gọi JB, JC cắt (O) tại G, H. Gọi M, N là trung điểm BG, CH. Do $BI \perp BJ, CI \perp CJ$ nên KG, LH là đường kính của (O). Theo đường trung bình có : $\frac{OM}{ON} = \frac{2BK}{2CL} = \frac{IF}{IE}$. Lại có : $\angle MON = 180 - \angle BJC = \angle BIC = \angle FIE$ nên $\Delta OMN \sim \Delta IFE$ suy ra $\angle IFE = \angle OMN = \angle OJC$. Gọi OJ cắt EF ở D. Ta có : $\angle DFC = \angle DJC$ nên D,F,C,J đồng viên và từ đó : $\angle FDJ = \angle FCJ = 90$ suy ra $OJ \perp EF$ (xong)

Trở lại bài toán : Ta có : $\angle BIC = 90 + \frac{\angle BAC}{2} = 120 = \angle BOC$ nên B,I,O,C cùng thuộc đường tròn đường kính IJ nên $OI \perp OJ$ mà theo bổ đề ta có : $OJ \perp EF$ nên $OI \parallel EF$ (đpcm)

Ý a bạn dùng $A, E, I, F$ đồng viên và $O, I, B, C$ đồng viên là được thôi. Ý b thì chú ý $AG$ cắt $(O)$ tại $S$ là trực tâm tam giác $BCJ$ là được. Ý c là biến đổi tỉ số. Mình nói vắn tắt vậy thôi tại sắp thi rồi nên không đủ thời gian gõ hết lời giải. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuybao06: 20-05-2024 - 23:15

[dinhvu]

Ý a bạn dùng $A, E, I, F$ đồng viên và $O, I, B, C$ đồng viên là được thôi. Ý b thì chú ý $AG$ cắt $(O)$ tại $S$ là trực tâm tam giác $BCJ$ là được. Ý c là biến đổi tỉ số. Mình nói vắn tắt vậy thôi tại sắp thi rồi nên không đủ thời gian gõ hết lời giải. 

Mình nghĩ là không nên dùng từ đồng viên nó kiểu không có từ nào chỉ í, chắc là bạn học ai đó nên dùng từ nội tiếp sẽ dễ hiểu hơn

[nguyenhuybao06]

Mình nghĩ là không nên dùng từ đồng viên nó kiểu không có từ nào chỉ í, chắc là bạn học ai đó nên dùng từ nội tiếp sẽ dễ hiểu hơn

Ý bạn là sao nhỉ? Mình quen dùng từ "đồng viên" vì trong một số bài toán tùy vào thế hình mà sự sắp xếp các điểm khác nhau, nếu dùng "nội tiếp" đôi khi sẽ không đúng với thế hình khác. Nhưng chắc lần sau giải toán THCS mình sẽ dùng nội tiếp. Cảm ơn bạn nhé.    

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuybao06: 21-05-2024 - 11:57

[HaiDangPham]

Mình nghĩ là không nên dùng từ đồng viên nó kiểu không có từ nào chỉ í, chắc là bạn học ai đó nên dùng từ nội tiếp sẽ dễ hiểu hơn

 

"Đồng viên" dùng cho đối tượng là 4 điểm (một tập hợp các điểm), còn "nội tiếp" dùng cho đối tượng là tứ giác (một hình). Ta có thể nói "4 điểm cùng thuộc một đường tròn" hoặc "4 điểm đồng viên". Còn khi muốn chỉ tới đối tượng là một tứ giác (có trật tự các đỉnh cụ thể) mà 4 đỉnh tứ giác đó thuộc một đường tròn thì ta nói "tứ giác nội tiếp đường tròn". Nói cho dễ hiểu, một "tứ giác nội tiếp" là một tứ giác có "4 đỉnh đồng viên".

 

Hai thuật ngữ "đồng viên" và "nội tiếp" trên hướng tới các đối tượng khác nhau nên không thể đặt ra vấn đề chọn cái này hay bỏ cái kia kiểu thay thế được. Không có cái gọi là "4 điểm nội tiếp" hay "tứ giác đồng viên". Nếu có sự thay thế ở đây thì chỉ là sự thay thế giữa hai cách diễn đạt là "4 điểm đồng viên" hoặc "4 điểm cùng thuộc một đường tròn". "Đồng viên" có lẽ là thuật ngữ đã quá cũ, trong sách giáo khoa hiện nay không còn dùng nữa. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 21-05-2024 - 15:56