Chủ đề này có 12 trả lời

[Kimluan]

cho a+b+c+1=4abc
CMR: a+b+c>=1/a+1/b+1/c

[nemo]

a=b=0, c=-1 thế là xong !

[NangLuong]

1/a và 1/b thì làm sao cho 2 số đó bằng 0 được nemo ? Không biết BĐT này có phải thêm giả thiết a, b, c dương không nhỉ?

[thanhbinh0714]

a=b=0, c=-1 thế là xong !

Đây là một cách nhắc nhở phần điều kiện của bài toán cho Bác Kim luan thôi mà .

[nemo]

Vậy thử cho thêm điều kiện http://dientuvietnam...metex.cgi?a,b,c dương xem sao.

Đặt http://dientuvietnam...cgi?x y z 2=xyz, từ đây suy ra http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?x: http://dientuvietnam...metex.cgi?x,y,z luôn tồn tại một số không nhỏ hơn 2 vì thế ta có thể giả sử http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(x) với đồng biến, hay .
Tóm lại ta luôn có . Đpcm !

[vuhung]

có lẽ cần bổ sung giả thiết a, b , c dương

trong cách giải của nemo, vh thấy không nhất thiết phải đặt x = 2a, y = 2b ... Tiến hành giải trực tiếp luông theo hướng đó cũng ok

[Kimluan]

đúng vậy ,đề của em ghi thiếu điều kiện cho x,y,z>o.tuy nhiên bài giải của bác Nemo em thấy sai nhiều lỗi hơi nặng đó,cac bác xem lại đi
(thí dụ: >=0 f(x)>=0
hay f(x) đồng biến thì chơi thẳng f(x)>=f(0) nhưng f(0)>0 vậy hóa ra đăng thức không xảy ra à v.v...)

[nemo]

Thật ra có thể xét riêng trường hợp a=b=c khi đó dễ thấy đẳng thức xảy ra với a=b=c=1, khi đó trong trường hợp còn lại ta viết http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?> 0 và .

[Kimluan]

không ổn, theo cách bác thì chúng ta cần chứng minh f(x)>=0 phải không và để
CM điều này thì cần <=0,trong khi cách của bác điểm mấu chốt lại là
>=0(tôi đã nói rồi). Tôi cần một lời giải thuyết phục hơn

[10a-dhkhtn]

Em có một ý kiến như thế này:Từ điều kiện của bài toán ta có thể đặt Điều này có do ta có đẳng thức (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1.Bất đẳng thức ở đề bài có thể đưa về dạng sau;.Chú ý rằng tam giác ABC nhọn nên đưa về bất đẳng thức trong tam giác có ba góc (A+B)/2...,ta thu được bất đẳng thức tương đương với tam giác ABC bất kì:3(cosA+cosB+cosC)=>2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)+3.Bất đẳng thức này tương đương với 8R^2+4Rr-4r^2=>a^2+b^2+c^2(hi vọng em không tính nhầm)

[song_ha]

cho a+b+c+1=4abc
CMR: a+b+c>=1/a+1/b+1/c

bài này quy về bài thi QG 96 thôi
cách giải của 10a cũng đúng mình cũng giải vậy song dài hơn do quy về
tam giác rồi lại dùng thể hiện theo tg
còn 1 cách nữa là dùng bđt shur

[Kimluan]

đúng rồi bài này là từ một bài lượng giác chế ra,nhưng ý mình là có cách giải nào bằng đại số để giải quyêt trực tiếp hay không.Ý tưởng của bác Nemo rất hay (rõ ràng nếu giải được bằng phương pháp này thì ta có thể giải được vô vàn bài lượng giác rất khó chẳng han như:
''Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x,y,z>=\dfrac{1}{2(\sqrt{3}-1)}
Va x+y+z+1=4xyz
CMR
'')
mời các bác tiếp tục

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kimluan: 10-03-2005 - 09:09

[Hatucdao]

Cho a,b,c>0,a+b+c+1=4abc. Chứng minh: a+b+c >= 1/a+1/b+1/c.

Giả sử a>=b>=c, ta thấy: abc>=1 và 4a>= a+b+c+1=4abc nên 1>=bc.
Ta có: abc(a+b+c) >= ab+bc+ca
tương đương:
tương đương:
Vì abc+1>abc-c>=0 nên ta chỉ cần: (lưu ý: abc^2-c >=0), hay: ac+bc >= c+1.
Ta có: suy ra: , suy ra đpcm.

to Kim Luân: bài này thì có thể giải thuần túy bằng "tư tưởng" đại số, tuy nhiên bài sau (BĐT của cụ Jack) hơi bị ác. Nhưng nếu em muốn có 1 lời giải bằng đại số thì cũng đã có rồi mà .