Chủ đề này có 1 trả lời

[QUANVU]

Tìm tất cả các số nguyên dương a,b sao cho 2a-1 và 2b+1 là nguyên tố cùng nhau,đồng thời a+b|4ab+1.

[longanimity]

Giải thử xem sao nhé, có sai chỗ nào anh em chỉ ra giùm.

1) Đặt A=2a-1 và B=2b+1. Ta có:
2(a+b) = A+B
4ab+1 = (2a+1)(2b+1) - 2(a+b) = B(A+2) - (A+B)

Như vậy: (a+b) | (4ab+1)
<=> 2(a+b) | 2(4ab+1)
<=> (A+B) | 2B(A+2) - (A+B)
<=> (A+B) | 2B(A+2)

2) Suy diễn: nếu ta có a,b nguyên dương và (2a-1,2b+1) = 1 thì (a+b) | (4ab+1) <=> B = A+4
i) Do 2a-1 và 2b+1 nguyên tố cùng nhau => (A,B) = 1 => (A+B,B) = 1. Như vậy (A+B) | 2B(A+2) <=> (A+B) | 2(A+2)
ii) Do a,b nguyên dương => A > 0, B > 2 => A+B > A+2. Cho nên: (A+B) | 2(A+2) <=> (A+B) = 2(A+2) <=> B = A+4

3) Kiểm chứng: nếu ta có A lẻ và B=A+4 thì ta sẽ có (A,B) = 1 (tức là (2a-1,2b+1) = 1)
Ta biết rằng A = 2a-1 => A là một số lẻ => hiển nhiên (4,A) = 1 <=> (A+4,A) = 1 <=> (B,A) = 1

4) Tóm lại, với a,b nguyên dương thỏa mãn (2a-1,2b+1) = 1 và (a+b) | (4ab+1) sẽ tương đương A là số nguyên dương lẻ và B=A+4, với A=2a-1, B=2b+1.

Vậy tất cả a,b nguyên dương cần tìm là các số a,b thỏa mãn: 2b+1 = 2a-1+4 <=> b=a+1 <=> a,b là số nguyên dương liên tiếp với a là số nhỏ, b là số lớn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longanimity: 12-10-2006 - 05:18