Chủ đề này có 23 trả lời

[namdung]

Tìm tất cả các hàm f: R --> R thỏa mãn phương trình



với mọi x, y thuộc R.

[supermember]

Tìm tất cả các hàm f: R --> R thỏa mãn phương trình



với mọi x, y thuộc R.

Ủa bài này giống bài đề thi VMEO 3 nhỉ?

[namdung]

Có giống thật, nhưng vẫn có khác

Ý chính để giải:

từ với

Hãy xét các trường hợp và .

Namdung

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zaizai: 14-11-2006 - 00:04

[namdung]

Không ai giải được bài này à?

[buckandbaby]

Em mới làm được một trường hợp
http://dientuvietnam...tex.cgi?f^{2}(x)=f^{2}(-x)
suy ra f(x)=f(-x) hoặc f(x)=-f(-x)
-trường hợp f(x)=-f(-x) thay x=0 suy ra f(0)=0
y=0 suy ra
suy ra
suy rasuy ra
cho x=0 suy ra g(g(y)=g(y)
cho y=g(y) suy ra cho x=0 siu ra g(y)=y
suy ra f(x)= 0 với mọi x

[ctlhp]

tức là bạn mới làm cho thôi fải 0?

[namdung]

Em mới làm được một trường hợp
http://dientuvietnam...tex.cgi?f^{2}(x)=f^{2}(-x)
suy ra f(x)=f(-x) hoặc f(x)=-f(-x)
-trường hợp f(x)=-f(-x) thay x=0 suy ra f(0)=0

Chỗ này bạn sai rồi đấy: Ta chỉ suy ra được với mọi x thì hoặc f(x) = f(-x) hoặc f(x) = - f(-x). Nhưng không có nghĩa là f(x) = f(-x) với mọi x hoặc f(x) = -f(-x) với mọi x!

[duyenmit]

vậy thì thầy đưa lời giải lên đi,theo em đây là 1 bài toán phương trình hàm tương đối khó ,em đã lần theo cách của thầy nhưng vẫn chưa có giá trị
f chưa chắc liên tục liệu có tồn tại min f(y)+y không?

[buckandbaby]

Chỗ này bạn sai rồi đấy: Ta chỉ suy ra được với mọi x thì hoặc f(x) = f(-x) hoặc f(x) = - f(-x). Nhưng không có nghĩa là f(x) = f(-x) với mọi x hoặc f(x) = -f(-x) với mọi x!

em đã sai lỗi này mấy lần rồi mà vẫn không nhớ tức quá
Để sửa sai em xin bổ sung như sau
Giả sử tồn tại a sao cho f(a) < 0 thì tồn tại b sao cho hay Như vậy trong gt ta cho y = a , x = b ta được vô lí suy ra với mọi x
Nếu tồn tại a sao cho f(a) = - f(-a) suy ra f(a)= f(-a)=0 vì hai f đều không âm
trong giả thiết cho y = a và -a ta được
với mọi x
với mọi x
cho x=0 suy ra f(a)= f(0)=0
Tiếp tục giải như phần trên ta được f(x)=0 với mọi x

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buckandbaby: 17-11-2006 - 23:31

[Tuan_Anh_IVO]

Gửi thầy namdung:
Thầy ơi sau đây là bài giải của em, rất mong thầy xem xét:
Ta có http://dientuvietnam...metex.cgi?f(f(y)+y)=f^2(0) http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?y http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(y)+y=c http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?c là hằng số tùy ý), thì cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?y=0 ta có http://dientuvietnam...metex.cgi?c=f(0) suy ra
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(y)=-y+f(0) ( http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?y http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R
Thay vào http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?(1) ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^2(x)=f(x^2+f(0))=-(x^2+f(0))+f(0)=-x^2
Suy rahttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x. Vô lý (loại)
-Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(y)+y=g(y), http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g(y) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?const, thì ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=g(y) ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)=f^2(0) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R
cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(0)=f^2(0) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(0)=0 hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)=0 hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)=1 thỏa bài toán.
Thầy ơi bài giải của em hoàn toàn không sử dụng đến bất kì gợi ý nào của thầy nên không biết nó có gì thiếu chặt chẽ hay không....?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tuan_Anh_IVO: 16-11-2006 - 01:22

[tanlsth]

Vậy cho http://dientuvietnam...metex.cgi?x=g(y) ta có http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(x)=f^2(0) http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R

Lời giải của bạn sai từ chỗ này này
Do không chạy khắp nên không thể có khẳng định này được

[Tuan_Anh_IVO]

Lời giải của bạn sai từ chỗ này này
Do không chạy khắp nên không thể có khẳng định này được

Tớ hiểu ý cậu rồi, hồi sáng nay vừa học vừa nghĩ tớ cũng nhận ra diều đó, cậu chơ tớ hoàn thiện lời giải nha, nếu có tớ sẽ post sau... bài này không đơn giản như tớ nghĩ.

[tanlsth]

Ta có
Nếu khác hằng số thì tuần hoàn
Lại có nên nếu khác hằng thì thì chọn thích hợp ta có 2 diểm đó bằng nhau nên vô lí

[buckandbaby]

Ta có
Nếu khác hằng số thì tuần hoàn
Lại có nên nếu khác hằng thì thì chọn thích hợp ta có 2 diểm đó bằng nhau nên vô lí

Em không hiểu ý anh lắm.
Tại sao g(x) khác hằng số thì g(x) lại tuần hoàn
và chọn x,y như thế nào để f(s)= f® với r,s nào đó

[tanlsth]

Thì em thay 2 điểm khác nhau của hàm vào sau đó hàm đó tuần hoàn trên một khoảng có dạng
Nếu không âm thì chọn
Thế thì 2 điểm đó bằng nhau

[ctlhp]

bác giải tỉ mỉ chút, mấy chỗ đó hổng hiển nhiên cho lắm

[namdung]

Buckdany đã chứng minh được 1 điều quan trọng: f(x) >= 0 với mọi x. Từ đây suy ra f(x) = f(-x) với mọi x.

Nhưng tiếp theo xử lý thế nào nhỉ?

Ai có thể giải thích kỹ để mọi người hiểu?

[tanlsth]

Em có thể viết rõ lại như sau
Ta có
Nếu thì chọn với
Suy ra
Vô lí

[duyenmit]

làm sao để f(x) 0 x

[manutd]

vô lí

vô lí ở chỗ nào?