bạn thử xem lại đi. khi mjnh áp dụng bdt cô si cho 2 số ko âm. mk a,b,c ko phải là hằng số mà k lại thay đổi nên mình có thể tìm a,b,c để f(a,b,c) max
Đề bài nói cho trước số $k>0$ có nghĩa là cho trước hằng số k rồi. Chỉ có $a,b,c>0$ và thay đổi sao cho thoả $a^2+b^2+c^2=1$ thôi.
Phản chứng : Giả sử có GTLN của $f(a,b,c)$.
Tức là $\exists$ hằng số $M>0$ sao cho $f(a,b,c)\le M$, $\forall a,b,c>0$ thoả $a^2+b^2+c^2=1$ .(1)
và $\exists a_0,b_0,c_0>0$ sao cho $a_0^2+b_0^2+c_0^2=1$ thoả $f(a_0,b_0,c_0)=M$
Chọn $0<b=c=\epsilon<\frac{1}{\sqrt{2}},0<a=\sqrt{1-2\epsilon^2}$ thì $a^2+b^2+c^2=1$ và $f(a,b,c)=\frac{\sqrt{1-2\epsilon^2}}{2\epsilon^k}}+\frac{2\epsilon}{\epsilon ^k+\sqrt{1-2\epsilon^2}$ $\to+\infty$ khi $\epsilon\to0^+$. (2)
Từ (1) suy ra, theo nguyên lý kẹp trong giới hạn, ta có : $\lim_{\epsilon\to 0^+}f(a,b,c)\le M$. (3)
Từ (2)(3) $\Rightarrow +\infty\le M$ (Vô lý vì $M$ là hằng số)
theo cách bạn đang làm thì là tìm min của cả bdt chứ ko pải là tìm min kủa x nk. pạn sai rồi kìa. tìm một cái ví du khác đúng hơn đi ha. ùi khi đó mình sẽ nhận sai
@suchica cần phải học lại ĐỊNH NGHĨA GTLN của một hàm f(x) đi nha.
$f(x)$ xác định trên $D$. Khi đó :
$f(x)$ đạt GTLN bằng $M$ tại $x=x_0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \exists M(const) : f(x)\le M ,\forall x\in D; \color{Red}{(1)}\\ \exists x_0\in D : f(x_0)=M. \cổl{Red}{(2)} \end{matrix}\right.$
Ở đây $x$ cũng có thể hiểu là nhiều biến, chẳng hạn bộ số $x$ là $(x_1,x_2,...,x_n)$, và tương ứng có bộ số $x_0$ là $(x_{0_1},x_{0_2},...,x_{0_n})$.
Nếu không có M là hằng số ở đk(1) và không tìm được $x_0$ ở đk(2) thì không thể kết luận $f(x)$ đạt GTLN.
Ví dụ :
Ta dễ dàng chứng minh được $f(x)=1-x^4\le 2-2x^2=g(x),\forall x$. Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x=\pm1$.
Đến đây ta không thể khẳng định $f(x)$ đạt GTLN tại $x_0=\pm1$. Vì $f(x_0=\pm1)=0<f(0)=1$.
Ngoài ra, $g(x)\le2,\forall x$ và $g(x_0=0)=2$ nên có thể khẳng định $g(x)$ đạt GTLN bằng $2$ tại $x_0=0$.
Nhưng $f(x)\le g(x)\le2$ thì không thể khẳng định $f(x)$ đạt GTLN bằng 2 vì không $\exists x_0$ để $f(x_0)=2$.
Bởi vì $f(x)=1-x^4\le1,\forall x$ và $f(x_0=1)=1$ nên có thể khẳng định $f(x)$ đạt GTLN bằng $1$ tại $x_0=0$.
Như vậy thì ta chỉ có $f(x)<2$ chứ không có $x_0$ để $f(x_0)=2$ được.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 22-08-2013 - 22:56