Chủ đề này có 40 trả lời

[toanhoc]

Xin hoi cac ban trong dien dan co ai gioi ve sheaf theory khong ? Co le huong dan cho toi hoc duoc khong ?
Toi dang muon tim hieu ve prevariety. Cac ban co the chi giup ? Toi la beginner nen chi hieu duoc don gian thoi.
Xin cam on truoc.

[toilachinhtoi]

Toi cung moi hoc ve Algebraic Geometry, nhung cung mao muoi gop vai loi vay. Theo toi nghi cuon tot nhat ve AG danh cho nguoi moi hoc la Principles of AG by Griffiths and Harris. Song song voi cuon nay nen doc them mot so cuon ve Several complex variables, chang han nhu Function theory of several complex variables by S. Krantz.

[cellist]

Tớ thì thấy là vào một cái đã đọc Griffiths rất dễ bỏ học. Chắc chắc cuốn dễ nhất về Sheaftheory không phải cuốn Principles của Griffiths. Bạn toanhoc nên tìm mấy cuốn thực sự nhập môn AG thì hơn. Cụ thể cuốn nào thì tớ không dám nói, vì tớ đọc Mumford với cả mấy cuốn tiếng Đức.

------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cellist: 12-11-2006 - 20:01

[quantum-cohomology]

Đọc mấy bài post của toanhoc thấy toanhoc đã biết commutative algebra rồi cơ mà, thế này thì luyện sheaf theory chả mấy khó khăn, cứ Hartshorne mà chơi. Để hiểu mấy cái Sheaf theory thì chỉ cần biết đại số giao hoán là đủ. Cuốn của Griffiths phù hợp với bên analytical geometry và birational geometry. Cellist mà đọc tiếng đức về Sheaf thì chắc luyện Analystische Stellenalgebra với cả Theorie der Steinschen Räume của Grauert hả? Nói chung sách tiếng đức chả có giá trị gì cả, viết thì lung tung phức tạp + sai nhiều chỗ, nhất là về phần Garbentheorie (viết rất abstrakt nhưng không có nội dung).
Tóm lại Hartshorne là vô địch. Tất nhiên đọc 1 cuốn Hartshorn thì chắc không hiểu gì nhiều đâu, vì văn phong quá cô đọng, nhưng làm hết số bài tập trong đó thì gần như có 1 nền tảng kiến thức cơ bản về AG cực tốt rồi. Ngoài ra nếu thích hướng hình học đại số twisted với topo đại số thì luyện Bredon ( Sheaf theory ). Tuy nhiên cuốn này không hợp khẩu vị với mình. Sử dụng nhiều chữ cái quá --> 1 lúc là hoa mắt.
Còn nếu thích chuyên sâu nữa về Sheaves trên Moduli spaces thì có cuốn của Huybrechts ý, có thể down ở lookforbook. Tuy nhiên cuốn này viết sai nhiều chỗ, mang đậm phong cách kiểu của bên complex geometry, đi quá sâu về Teichmüller spaces.
Tất nhiên ai học tiếng pháp thì quá có lợi, cứ mấy bộ EGA GAGA mà luyện.
Còn tốt nhất nếu không thích đọc sách thì tra mấy paper của Serre mà nghiền ngẫm, original idea của ông ý được trình bầy trong đó.
Cuốn Hartshorne đủ khó nhưng không quá abstract đến độ người đọc phải bỏ cuộc hoàn toàn. Quan trọng là kiên trì thôi. Phần I của Hartshorn không cần phải đọc, về Varieties thì đọc Mumford chắc tốt hơn. Tuy nhiên vẫn nên làm bài tập.
Nên đọc từ chương II Hartshorn trở đi ( nếu không làm về enumerative geometry thì có thể bỏ qua 2 chương về Curves và Surfaces ). Kết hợp đọc Geometry of Schemes của Eisenbud và Harris để hiểu rõ Schemes. Mặc dù đôi lúc các kết quả tổng quát cho local ringed spaces còn đẹp hơn kết quả đối với Schemes.
Riêng phần Cohomology trong Hartshorn thì phải luyện thật kỹ, tuy nhiên toanhoc đã có lợi thế về commutative algebra thì chắc không phải đáng lo. Trước khi đọc Apendix của Hartshorn về Weil-Theory thì luyện sơ qua cuốn Arithmetics của Serre là ok.
Chỗ mình luyện hình học đại số toàn vậy, luôn chia làm 2 courses, 1 khóa chuyên luyện theo giáo trình Hartshorn, còn khóa kia là complex algebraic geometry theo kiểu Griffiths.

[toanhoc]

Cam on cac ban rat nhieu

[cellist]

Mình đây mà, đi đường khác nên thôi bỏ tên cũ (vì còn lang thang nên tên mới cũng lang thang). 4 cuốn AG mình đọc bổ xung lẫn nhau là Mumford's Red book, Hartshorne, Shafarevich với 2 cuốn tiếng Đức là của Hulek và Brodman. Nói chung là chưa đâu vào đâu cả, giờ mới học đến Schemes theory.

Về cuốn Hartshorne công nhận nặng- mặc dù viết rất perfect- gọn chắc. Mình luộc hết chương 1 đã thấy mệt rồi sang chương 2, 3 thấy phải bổ xung đại số nhiều quá nên phải từ từ chạy chậm thôi không đua được. Đọc Eisenbud có cái hay là ông này hay nói tới nguyên nhân, động lực làm các nhà toán học phát triển lý thuyết này kia. Cũng may là hầu như ngành nào trong toán cũng có ông viết sách kiểu tạo motivation như thế nên học đỡ mệt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cellist: 16-11-2006 - 05:38

[quantum-cohomology]

Nhân tiện đây thảo luận Sheaf đi Xin phép mở đầu. Cho X là 1 topological space, 1 presheaf (thống nhất là presheaf của abelian groups) được hiểu như 1 phép tương ứng (nếu thích có thể gọi là hàm tử) từ tập hợp các tập mở của X vào phạm trù các nhóm abelian, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{U_i\} là 1 phủ mở của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?U và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{F} là 1 presheaf trên X, với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{F} là 1 presheaf, vậy thì tồn tại duy nhất chính xác tới 1 đẳng cấu 1 Morphism của presheaf http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{F}^{+} là sheaf
(2) Tính phổ dụng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{G}_X là 1 constant presheaf trên X, vậy thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{G}_{X}^{+} là bó hóa và là bó các hàm constant địa phương.

Từ đó ta có thể nhận thấy, trong Categories của Sheaves, thì Kern, Im, Cokern, Coim tồn tại. Điều này tương đối quan trọng, vì sau này ta sẽ làm việc chủ yếu với abelian Categories, nơi mà các objects nói trên đều tồn tại. Abelian Categories đóng vai trò quan trọng số 1 trong hình học đại số và đại số đồng điều.
Ta hãy nói sơ qua chút về bó cảm sinh từ 1 ánh xạ liên tục, cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{F} trên X ta có 1 bó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{M} của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{O}_X-Modul, ta hiểu 1 bó cùng với 1 cấu trúc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{O}_X-modul trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{O}_X-modul http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{F} được gọi là local free ( tự do địa phương) nếu đối với mỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M là 1 http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A-Modul ta định nghĩa 1 Sheaf http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{M} trên X thông qua http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_p là localization của M tại p.
Rõ ràng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{M} là 1 sheaf. , chú ý rằng ~ construction như trên là 1 exact functor. Tuy nhiên ~ functor chỉ compatible với tensor product nhưng không compatible với hàm tử Hom, điều này có thể loại trừ trong 1 số Categories.
Cho X là 1 Scheme, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{M} là 1 http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{O}_X-modul, ta gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{M}là quasi coherent nếu tồn tại 1 phủ mở affine http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_i-Moduln http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_i sao cho

[quantum-cohomology]

Ai vào làm tiếp Cohomology cho Noetherian Schemes đi, cái này hay, tôi sẽ cố gắng trình bầy comparison theorem của Grothendieck giữa algebraic categories và analytical categories.

[cellist]

Mình thấy cứ luộc kỹ cái sheave quan trọng nhất của hình học đại số là cái không gian vành mà GC đã giới thiệu trong đoạn cuối bài trên đi đã.

Mấy hôm nay mình đi nghe 2 cái lectures của H.Esnault, một của Viehweg, 1 trong 3 lectures của Fukaya. Tổng cộng cũng được ít nhiều thông tin. Ví dụ bà Esnault vừa rồi làm cùng với anh Phùng Hồ Hải một serie (tổng cộng 3 bài báo) tập trung về chủ đề giả thuyết "Section conjecture", fundamental groups và Anabelian Geometry của Grothendieck viết năm 1984 trong mấy bức thư gửi cho Faltings. Đại khái (mình không hiểu mấy) là kết hợp việc xây dựng một category tương ứng cho ECov (etale category of coverings ??) - bởi vì cái construction của Nori trước đây trivial, ngớ ngẩn (lời bà Esnault). Theo cảm giác của mình thì mấy cái bài báo này khá lắm. Theo thông báo của bà ấy, anh Phùng Hồ Hải được giải nghiên cứu của DFG (hiệp hội khoa học Đức) và sẽ nhận giải tháng 3 năm tới tại Berlin. Mình không biết cụ thể giải tên là gì nhưng được giải của bọn DFG thì kinh đấy. Xin chúc mừng anh Hải!

Bài của Viehweg nói về mấy bài báo ông ấy làm cùng với Kang Zuo - về bất đẳng thức cho degree và rang của mấy cái bundles. Nhưng phần này mình chả hiểu cóc gì cả- thiên về Complex Geometry. Bài của Fukaya thì như đã nói- về Mirror Symmetry và Floer Homology. Bác Fukaya trông hơi có tật một chút-đi đứng hơi bị rung, giật giật- gầy nhỏ nhưng đầu to gần bằng người- thỉnh thoảng lại cười phá lên rất hồn nhiên.


---------------

Vài câu của các vị ấy:
Bà Esnault có nói là: Abelian varieties là đại số tuyến tính phức tạp, còn Shimura curves là đại số tuyến tính cực kỳ phức tạp.
Ông Viehweg có nói là: bài báo ông ấy và Kang Zuo đọc của Yau về lý thuyết Unimodal.. gì đó là bài báo được viết tởm nhất ông ấy từng được đọc- được viết cực kỳ lộn xộn, thiếu xót, cẩu thả- mặc dù chứng minh đúng và các kết quả rất rất mạnh.

[quantum-cohomology]

Bác Cellist bắt chuyện sao mà nhanh thế, kỳ vừa rồi đang định cắp sách xuống tham gia Seminar chỗ bà Esnault, Lewis, Phung ho hai thì bị bận Obersminar nên không sang được, ông Lewis là cái ông mà viết motivic categories ý, 1 buổi ông ý giảng khoảng 80 trang giấy, nghe 1 lúc không hiểu nên buồn ngủ lắm. Nhưng chắc kỳ sau thì sang chỗ bà ý thôi. Ông Viehweg thì lúc nào cũng làm complex geometry rồi, hoặc chính xác hơn là positivity algebraic geometry.

[cellist]

Mình có bắt chuyện quái đâu- họ phát biểu trong buổi thuyết giảng đấy chứ. Kể ra lecture đầu của bà Esnault về các rational points over finite fields thì vì bà ấy viết chữ cẩu thả quá- có chỗ mình không hiểu nên cuối buổi chạy xuống hỏi- nên chắc bà ấy nhớ mặt. Hôm sau gặp lại chỗ khác- nghe cả hai vợ chồng thì nhìn thấy mình bà ấy đã hỏi chuyện là dân ở đâu đến- mình bảo VN thế là bà và ông ấy mới bảo là mấy bài này bà ấy làm cùng với anh Hải .v.v. Cũng chỉ được mấy câu vậy thôi chứ mình là newbie chính hiệu, cóc dám ho hoe hỏi han tán gẫu gì cả. Đến cuối buổi ông giáo chỗ mình bảo cả hội đi ăn tối với hai ông bà ấy- nhưng mình thấy chả có đứa nào đi nên thôi cũng ngại không dám đi nữa.
Rất có thể mình cũng sẽ mò xuống Essen. Hiện ở Đức ngoài Bonn thì chỉ có Essen là trung tâm cho hình học đại số thôi mà. Mình lại thích đường bà Esnault và anh Hải làm.

Bác Levine mình cũng có nghe nói rồi. Ngày trước bác Levine xin làm giáo sư ở Penn State thì bị từ chối- về sau bác ấy làm được nhiều thứ về mixed motives rồi đến khi Vỏevodsky được Fields thì bác Levine cũng nổi tiếng theo. Bọn Penn State hình như cũng tiếc, gọi lại nhưng bác Levine đã là giáo sư ở chỗ khác ngon hơn rồi nên cóc quay lại. Mấy cái trò Category ala Grothendieck với cả motives nói chung bị vấn đề là tiến sát tới NOTHING quá nên học cũng ngại.Khác gì nhét vào đầu Philosophy của Heidegger rồi một ngày kia à một tiếng. vô nghĩa. Vào đường motives đó thì nhiều năm vứt đi là rất có thể, mà cũng rất có thể sẽ không ra được bất cứ cái gì ra hồn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cellist: 22-11-2006 - 03:09

[quantum-cohomology]

Bác xuống Essen đi, chúng ta cùng chiến đấu hình học đại số, nhưng làm với bà Esnault thì làm trên trường hữu hạn nhiều hơn, cái này thì chắc bác biết rồi, tuy nhiên cái hay của nó là làm trường hữu hạn bao giờ cũng có connection và motivation từ lý thuyết số.

[cellist]

Mình thích phần liên quan đến abstract AG hơn là Complex Geometry- cũng có thể do mình thấy complex có nhiều thứ ngoài phải học hơn- như giải tích, hình vi phân. Tuy nhiên- cái đích hấp dẫn nhất của AG hiện nay có lẽ vẫn là Complex Geometry với giả thuýêt Hodge và String theory và thực ra có vẻ đi đường complex geometry có nhiều bài toán lề đường để ra kết quả hơn cho nên chắc bọn đi đường Complex đông hơn. Nếu không đi thẳng vào đường category và schema, motives ala Grothendieck thì mình sẽ đi đường Moduli spaces. Ở Bonn hiện có khóa cho moduli spaces - GC có biết không? Mà đã tính gì chưa sau khi tốt nghiệp?

[quantum-cohomology]

Sang Essen, cũng có thể xuống Freiburg, ở đó có Bern Siebert cũng là chuyên gia Quantum cohomology, ngoài ra ông ý cũng là giáo sư cũ ở tổ bộ môn chỗ em. Em thì có 2 hướng hoặc làm trên finite fields, hoặc làm quantum cohomology, cũng còn suy nghĩ chán, làm quantum cohomology thì hiển nhiên phải hiểu Moduli. Tuy nhiên hướng làm của bà Esnault vẫn hấp dẫn hơn nhiều.Giả thuyết Hodge thì đương nhiên là cực khó, nhiều trường hợp cụ thể vẫn còn mở, chứ chưa nói đến tổng quát, và thực ra con đường làm Hodge theory có lẽ hiện tại duy nhất chỉ có Motives, làm Motives cụ thể vẫn cực hay, không chỉ riêng mixed categories đâu, nó còn bao hàm Intersection theory. Hiện tại em đang làm cụ thể về Intersection theory, thấy nhiều cái đều bị bao hàm trong Motives.

[quantum-cohomology]

Có 1 bài tập về Sheaves hy vọng có thể thảo luận với mọi người, bài tập khá hay tương tác giữa hhds và ds giao hoán. Cho A là 1 nhóm abelian, định nghĩa skyscraper sheaf (bó chọc trời) là 1 presheaf http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{F}

[quantum-cohomology]

Câu 2 tương đối hay vì nó gợi nhớ ta đến bài tập 2.4 chương 2 của Hartshorne, có 1 sự tương tự giữa Varieties, Schemes và Sheaves. đó là , với X là Schemes bất kỳ.
Hơn nữa, có thể chứng minh với ringed space điều trên vẫn đúng, tuy nhiên phần chứng minh khá khó để chỉ ra sự liên tục của Morphism. Mời các cao thủ thảo luận.

[cellist]

Ừ bài này được đấy, để tớ thử suy nghĩ xem sao. Giờ bận mấy cái courses vớ vẩn quá- phải nộp bài tập mà mấy thằng làm cùng mấy nhóm dốt như con bò. Mình đã dốt rồi thì chớ.

Quantum Cohomology thì hay quá rồi, tiếc tớ ngại học thêm cả đống bên đó nên đi đường AG với đại số thôi, cho nó nhẹ người. Sau có thời gian thì luyện thêm. Nói chung được chơi mấy chưởng QC với cả TQFT thì vô địch rồi - đỉnh cao của cả toán lẫn lý. Motives nói chung đang hot- nhất là cho Non-comm. Geometry (thấy mấy bài của Connes và Marcoli đều đang về sự liên quan này), nhưng chả biết đâm đầu vào đó thì còn ngày về quê mẹ không nữa, vì xa quá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cellist: 23-11-2006 - 17:52

[quantum-cohomology]

Marcoli đang ở MPI đấy, Cellist xuống đó học chị ý cũng đc, vừa làm arithmetic geometry lại vừa làm noncomm geometry.

[cellist]

À, mình đã suy nghĩ về bài bó chọc trời- bài này đâu có gì đâu nhỉ.

[quantum-cohomology]

thì adjoint functor, còn tất nhiên bài tập trên trivial rồi.