Đến nội dung


Hình ảnh

$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2 $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 NPKhánh

NPKhánh

    Tiến sĩ toán

  • Thành viên
  • 1115 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:maths.vn
  • Sở thích:Nghiên cứu Toán học

Đã gửi 16-11-2006 - 10:05

Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh là $a,b,c$, trực tâm $H$, $O$ và $R$ theo thứ tự là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng:

$$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2 $$


http://mathsvn.violet.vn trang ebooks tổng hợp miễn phí , nhiều tài liệu ôn thi Đại học



http://www.maths.vn Diễn đàn tổng hợp toán -lý - hóa ... dành cho học sinh THCS ;THPT và Sinh viên


#2 TMW

TMW

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:lập trình
    cờ tướng
    Chơi đàn, hát một mình

Đã gửi 30-05-2014 - 13:13

Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh là $a,b,c$, trực tâm $H$, $O$ và $R$ theo thứ tự là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng:

$$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2 $$

Do H là trực tâm tam giác ABC nên :

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

=> $\overrightarrow{OH}^{2}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^2$

=>$OH^{2}=(OA^{2}+OB^{2}+OC^{2})+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}$

$OH^{2}=3R^{2}+ \sum (OA^{2}+OB^{2}-AB^{2})$

=>$OH^{2}=9R^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}$



#3 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:...

Đã gửi 20-07-2014 - 15:45

Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh là $a,b,c$, trực tâm $H$, $O$ và $R$ theo thứ tự là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng:

$$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2 $$

h.png

Lấy các điểm giống hình vẽ

 

$\triangleright $ Bổ đề 1:

Chứng minh rằng: O;H;G thẳng hàng

Chứng minh: Đường thẳng Euler

$\triangleright $ Bổ đề 2:

Chứng minh rằng: $OH=3OG$

Chứng minh: Do $AH||OM$ nên $\Delta AHG\sim \Delta MOG~(g-g)$

Mà $AG=2GM$ nên $HG=2OG$
$\Rightarrow OH=3OG$

$\triangleright $ Bổ đề 3:

Chứng minh định lý Stewart

Suy ra: $b^2.\frac{a}{2}+c^2.\frac{a}{2}=a\left(AM^2+\frac{a^2}{4}\right)$

Suy ra: $AM^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$

 

$\triangleright $ Trở lại bài toán

Áp dụng định lý Stewart cho tam giác $AOA'$ ta có:

$AA'.\left(OG^2+AG.GA'\right)=OA^2.GA'+OA'^2.GA$

Đặt $AA'=3n$

$\Rightarrow 3n.\left(OG^2+2n^2\right)=R^2.n+2n\left(R^2-\frac{a^2}{4}\right)$

$\Leftrightarrow 3OG^2+6n^2=R^2+2R^2-\frac{a^2}{2}$

$\Leftrightarrow OG^2=R^2-2n^2-\frac{a^2}{6}$

 

 

Vậy ta có:

 

$OH^2=(3OG)^2$

$=9R^2-18n^2-\frac{3}{2}.a^2$

$=9R^2-\frac{3}{2}.a^2-2.(3n)^2$

$=9R^2-\frac{3}{2}.a^2-\frac{2b^2+2c^2-a^2}{2}$

$=9R^2-a^2-b^2-c^2$

 

Kết thúc chứng minh $\blacksquare $

 

P/s: Đây là box THCS nên không được dùng vecter


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 05-09-2014 - 13:38





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh