Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh là $a,b,c$, trực tâm $H$, $O$ và $R$ theo thứ tự là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng:
$$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2 $$
Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh là $a,b,c$, trực tâm $H$, $O$ và $R$ theo thứ tự là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng:
$$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2 $$
http://mathsvn.violet.vn trang ebooks tổng hợp miễn phí , nhiều tài liệu ôn thi Đại học
http://www.maths.vn Diễn đàn tổng hợp toán -lý - hóa ... dành cho học sinh THCS ;THPT và Sinh viên
Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh là $a,b,c$, trực tâm $H$, $O$ và $R$ theo thứ tự là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng:
$$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2 $$
Do H là trực tâm tam giác ABC nên :
$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
=> $\overrightarrow{OH}^{2}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^2$
=>$OH^{2}=(OA^{2}+OB^{2}+OC^{2})+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}$
$OH^{2}=3R^{2}+ \sum (OA^{2}+OB^{2}-AB^{2})$
=>$OH^{2}=9R^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}$
Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh là $a,b,c$, trực tâm $H$, $O$ và $R$ theo thứ tự là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng:
$$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2 $$
Lấy các điểm giống hình vẽ
$\triangleright $ Bổ đề 1:
Chứng minh rằng: O;H;G thẳng hàng
Chứng minh: Đường thẳng Euler
$\triangleright $ Bổ đề 2:
Chứng minh rằng: $OH=3OG$
Chứng minh: Do $AH||OM$ nên $\Delta AHG\sim \Delta MOG~(g-g)$
Mà $AG=2GM$ nên $HG=2OG$
$\Rightarrow OH=3OG$
$\triangleright $ Bổ đề 3:
Chứng minh định lý Stewart
Suy ra: $b^2.\frac{a}{2}+c^2.\frac{a}{2}=a\left(AM^2+\frac{a^2}{4}\right)$
Suy ra: $AM^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$
$\triangleright $ Trở lại bài toán
Áp dụng định lý Stewart cho tam giác $AOA'$ ta có:
$AA'.\left(OG^2+AG.GA'\right)=OA^2.GA'+OA'^2.GA$
Đặt $AA'=3n$
$\Rightarrow 3n.\left(OG^2+2n^2\right)=R^2.n+2n\left(R^2-\frac{a^2}{4}\right)$
$\Leftrightarrow 3OG^2+6n^2=R^2+2R^2-\frac{a^2}{2}$
$\Leftrightarrow OG^2=R^2-2n^2-\frac{a^2}{6}$
Vậy ta có:
$OH^2=(3OG)^2$
$=9R^2-18n^2-\frac{3}{2}.a^2$
$=9R^2-\frac{3}{2}.a^2-2.(3n)^2$
$=9R^2-\frac{3}{2}.a^2-\frac{2b^2+2c^2-a^2}{2}$
$=9R^2-a^2-b^2-c^2$
Kết thúc chứng minh $\blacksquare $
P/s: Đây là box THCS nên không được dùng vecter
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 05-09-2014 - 13:38
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh