Đến nội dung


Hình ảnh

tìm max $A = \dfrac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Bachdx

Bachdx

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Sở thích:đọc sách toán ,truyện

Đã gửi 24-11-2006 - 10:29

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớ nhất của biểu thức:

$$A = \dfrac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}$$
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 26-06-2015 - 08:26

I love math

#2 Hoang Long Le

Hoang Long Le

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-06-2015 - 09:05

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớ nhất của biểu thức:

$$A = \dfrac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}$$
 

 Áp dụng AM-GM ta có :

 $+)~~1+3x=1+6.\frac{x}{2}\geq 7\sqrt[7]{\frac{x^6}{64}}$

 

 $+)~~x+8y=x+6.\frac{4y}{3}\geq 7\sqrt[7]{\frac{4096xy^6}{729}}$

 

 $+)~~y+9z=y+6.\frac{3z}{2}\geq 7\sqrt[7]{\frac{729z^6y}{64}}$

 

 $+)~~z+6\geq 7\sqrt[7]{z}$

 

 $\Rightarrow (1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)\geq 2401\sqrt[7]{\frac{x^7y^7z^7.4096.729}{64.729.64}}=2401xyz$

 $\Rightarrow A\leq \frac{1}{2401}$

 Dấu "=" xảy ra khi $x=2;y=\frac{3}{2};z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 26-06-2015 - 09:09

IM LẶNG

#3 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hùng Vương,Phú Thọ
  • Sở thích:Phương trình hệ phương trình,đại số,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 26-06-2015 - 15:28

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớ nhất của biểu thức:

$$A = \dfrac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}$$
 

Cách nữa:

Dự đoán:Max $A=\frac{1}{7^4}$

Tachứng minh:$\frac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}\leq \frac{1}{7^4}$

                          <=>$(1+3x)(\frac{x+8y}{x})(\frac{y+9z}{z})(\frac{z+6}{z})\geq 7^4$

                          <=>$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})\geq 7^4$

Áp dụng bất đẳng thức $Holder$ ta có:

$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})\geq (1+\sqrt[4]{3x.\frac{8y.9z.6}{xyz}})^4=7^4$ => điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra:$x=2;y=\frac{3}{2};z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 26-06-2015 - 15:31

Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh