Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$4xy+4(x^2+y^2)+\dfrac{3}{(x+y)^2}=\dfrac{85}{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 NAPOLE

NAPOLE

    Napoleon Bonaparte

  • Pre-Member
  • 328 Bài viết
  • Đến từ:THPTTXCL
  • Sở thích:Bđt và phương trình nhưng ko có Hình (tui dở hình tàn nhẫn )

Đã gửi 28-11-2006 - 07:53

Giải hệ PT sau :


$$\left\{\begin{matrix}4xy+4(x^2+y^2)+\dfrac{3}{(x+y)^2}&=\dfrac{85}{3}\\2x+ \dfrac{1}{x+y}&=\dfrac{13}{3}\end{matrix}\right.$$

Defense Of The Ancients

#2 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-04-2013 - 00:03

Giải hệ PT sau :


$$\left\{\begin{matrix}4xy+4(x^2+y^2)+\dfrac{3}{(x+y)^2}&=\dfrac{85}{3}\\2x+ \dfrac{1}{x+y}&=\dfrac{13}{3}\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} 4xy+ 4(x^2+ y^2)+ \dfrac{3}{(x+y)^2} = \dfrac{85}{3}\\ 2x+ \dfrac{1}{x+y} = \dfrac{13}{3} \end{matrix}\right.$$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4xy+ 4(x^2+ y^2)+ \dfrac{3}{(x+y)^2} = \dfrac{85}{3}\\ (x-y) + (x+y) + \dfrac{1}{x+y} = \dfrac{13}{3} \end{matrix}\right.$
Đặt $\left\{\begin{matrix} x+y=a \neq 0\\ x-y=b \end{matrix}\right.$
Hệ phương trình đã cho trở thành:
$\left\{\begin{matrix} 3a^2+b^2+\dfrac{3}{a^2}=\dfrac{85}{3}\\ a + \dfrac{1}{a}+b = \dfrac{13}{3} \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3(a+\dfrac{1}{a})+ b^2 = \dfrac{103}{3}\\ a + \dfrac{1}{a} = \dfrac{13}{3} - b \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 3(\dfrac{13}{3} -b)^2 + b^2 = \dfrac{103}{3}$
$\Leftrightarrow (b-1)(2b-11) = 0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} b=1\\ b= \dfrac{11}{2} \end{bmatrix}$
Với $b=1$ ta có ${a}+ \dfrac{1}{a} = \dfrac{10}{3}$
$\Rightarrow a = 3$ hoặc $a = \dfrac{1}{3}$
Thay ngược vào, giải ra được
$\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=1 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x =\dfrac{2}{3}\\ y= \dfrac{-1}{3} \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$
Trường hợp $b=\dfrac{11}{2}$ thay vào thấy không thoả mãn.
Vậy hpt có nghiệm $(x;y) = (2;1) , (\dfrac{2}{3} ; \dfrac{-1}{3})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 04-04-2013 - 00:04


#3 Yuri

Yuri

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Trung học Phổ thông Phù Cừ
  • Sở thích:Học Toán

Đã gửi 07-04-2013 - 09:15

$\left\{\begin{matrix} 4xy+4({x^2}+y^2)+\frac{3}{(x+y)^2}=\frac{85}{3} & & \\2x+\frac{1}{x+y}=\frac{13}{3} & & \end{matrix}\right.$                                                                                                                              

$<=>\left\{\begin{matrix} 4xy+4{x^2}+4y^2+\frac{3}{(x+y)^2}=\frac{85}{3} & & \\2x+\frac{1}{x+y}=\frac{13}{3} & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 3(x+y)^2+(x-y)^2+\frac{3}{(x+y)^2}=\frac{85}{3} & & \\x+y+x-y+\frac{1}{x+y}=\frac{13}{3} & & \end{matrix}\right.$

Đặt x+y=a; x-y=b.Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 3a^2+b^2+\frac{3}{a^2}=\frac{85}{3} & & \\a+b+\frac{1}{a}=\frac{13}{3} & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 3(a^2+\frac{1}{a^2})+b^2=\frac{85}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$                                                                                                                                  

$<=>\left\{\begin{matrix} 3[(a+\frac{1}{a})^2-2.a.\frac{1}{a}]+b^2=\frac{85}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$                                                                                                                                 

$<=>\left\{\begin{matrix} 3(a+\frac{1}{a})^2-6+b^2=\frac{85}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 3(a+\frac{1}{a})^2+b^2=\frac{103}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 3(\frac{13}{3}-b)^2+b^2=\frac{103}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 3(\frac{169}{9}-\frac{26}{3}b+b^2)+b^2=\frac{103}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} \frac{169}{3}-26b+4b^2=\frac{103}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 4b^2-26b+22=0 & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 2(b-1)(2b-11)=0 & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} b-1=0 & & \\2b-11=0 & & \end{bmatrix} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} b=1 & & \\b=\frac{11}{2} & & \end{bmatrix} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

.Với b=1 ta có:a+$\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-1$ 

$<=>a^2-\frac{10}{3}a-1=0$

$<=>3a^2-10a+3=0$

$<=>(a-3)(3a-1)=0$

$<=>\begin{bmatrix} a-3=0 & & \\3a-1=0 & & \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} a=3 & & \\a=\frac{1}{3} & & \end{bmatrix}$

*với a=3 và b=1 ta có hê phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+y=3 & & \\x-y=1 & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} x=2 & & \\y=1 & & \end{matrix}\right.$

Với a=$\frac{1}{3}$ và b=1 ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+y=\frac{1}{3} & & \\x-y=1 & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} x=\frac{2}{3} & & \\y=\frac{-1}{3} & & \end{matrix}\right.$

Với b = $\frac{11}{2}$ ta có: a+$\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-\frac{11}{2}$

$<=>a+\frac{1}{a}=\frac{-7}{6}$

$<=>^{a^2}+\frac{7}{6}a+1=0$

$<=>6{a^2}+7a+6=0$

$<=>36{a^2}+42a+36=0$

$<=>{(6a)^2}+2.6a.\frac{7}{2}+\frac{49}{4}+\frac{95}{4}=0$

$<=>(6a+\frac{7}{2})^2+\frac{95}{4}=0 (vô nghiệm)$

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm$ (x;y)\epsilon \left \{(2;1);(\frac{2}{3};\frac{-1}{3}) \right \}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yuri: 08-04-2013 - 19:55





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh