2 replies to this topic

[manutd]

Tìm hàm số $f:{\mathbb N}^*\rightarrow {\mathbb N}^*$ thỏa mãn: $f(m^2+f(n))=f^2(m)+n \quad \forall m,n \in {\mathbb N}^*$.

Edited by manutd, 06-01-2007 - 09:56.

[manutd]

Chào anh Manutd , lại được gặp anh vui we'.!!!

Bài của anh em có lời giải nè :
Solution.
$f(m^2+f(n))=f^{2}(m)+n$ (1)
Đặt $ f(0)=a $
Trong (1) chọn $m=0$ suy ra : $ f(f(n))=n+a^2 $ (2)
Từ (2) ta có : (i) $ f(a)=a^2 $ (ii) $ f(n+a^2)=f(n)+a^2 $
Từ (ii) ta suy ra : $ f(a+a^2)=f(a)+a^2 $
Trong (1) cho :$m=a$ ,$ n=0 $ ta suy ra :$ f(a^2+a)=f^{2}(a) $
Do đó :$f^{2}(a)=f(a)+a^2$
Kết hợp với (i) suy ra : $ a^4=a^2+a^2$ $a=0$ (chú ý $a \in N$ )
Khi đó trong (1) cho $m=1$, $n= 0$ suy ra $f(1)=0$ hoặc $f(1)=1.$
Nếu $f(1)=1$ từ (2) suy ra $ f(0)=1$ mâu thuẫn.Do đó $f(1)=1$
Bây giờ trong (1) cho $m=1 $và$ n:=f(n) $suy ra $f(n+1)=f(n)+1$.
Từ đây ta quy nạp và được $f(n)=n $ $ n$

PiE.

Sorry em, ở đây là tập các số tự nhiên khác 0. Anh sửa lại đề rồi. Tiếp tục giải với giả thiết mới này nhé.