Edited by Nesbit, 14-01-2007 - 16:18.
Bài dãy số khó đây
Started By Nesbit, 14-01-2007 - 16:16
#1
Posted 14-01-2007 - 16:16
Xét dãy $x_{n+1}=x_{n}^2+\dfrac{x_n}{n} \ \forall n \ge 1$. Chứng minh tồn tại duy nhất $x_1$ sao cho $0 < x_n < x_{n+1} < 1 \ \forall n \ge 1$.
#2
Posted 14-01-2007 - 17:42
bài này thi IMO. Giải = phương pháp xây dựng hàm
#3
Posted 14-01-2007 - 21:13
Chính xác là sử dụng nguyên lí Cantor
Nếu có thời gian mình sẽ post lời giải
Nếu có thời gian mình sẽ post lời giải
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
#4
Posted 15-01-2007 - 11:32
Nesbit đã có lời giải bài này rồi, nhưng tớ cũng gõ lên đây cho mọi người tham khảo (hôm nay rảnh rỗi ):
Xét hàm như sau:
$S_0(x)=x$
$S_{n+1}(x) = S_n(x)[S_n(x)+\dfrac{1}{n}]$Quy nạp ta có : $x_{n+1}= S_n(x_1)$Cũng có: $S_n(0)=0$
$ S_n(1) >1 $ , $ \forall n \geq 1$
$ \exists a_n , b_n $ mà $a_n $ < $b_n $ và:
$S_n(b_n) =1 ; S_n(a_n) = 1- \dfrac{1}{n}$
$S_n(x) $ đa thức hệ số không âm $\rightarrow S_n(x) $ tăng trên $(0;1)$Dễ dàng chứng minh: $(a_n) $ dãy tăng ,$ (b_n) $ dãy giảm
Như vậy rõ ràng là 2 dãy $(a_n) $ và $(b_n) $ đều hội tụ
Do đồ thị $S_n $ lõm nên với $0 \leq x \leq b_n $ thì:
$S_n(x) \leq \dfrac{x}{b_n}$
$a_n $ <$ b_n \rightarrow S_n(a_n) \leq \dfrac{a_n}{b_n}$$\rightarrow 1- \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{a_n}{b_n} $ <$1$
Theo nguyên lý kẹp ta có $b_n - a_n $ hội tụ về $0$
Để ý rằng khi đoạn $[a_n;b_n] $ thắt dần thì tồn tại duy nhất $x_1 $ để $a_n $ < $x_1$ < $b_n, \forall n.$
$a_n $ < $x_1 $ <$ b_n $ $\rightarrow S_n(a_n) < S_n(x_1) < S_n(b_n)$$\rightarrow 1- \dfrac{1}{n} $ < $x_{n+1} $ < $1$
$\rightarrow 0 $ < $x_n $ <$1$
$x_{n+1} = S_n(x_1) = S_{n-1}(x_1)[S_{n-1}(x_1)+ \dfrac{1}{n-1}] $ > $S_{n-1}(x_1)[1-\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n-1}] = S_{n-1}(x_1) = x_n $ Từ đây ta sẽ suy ra đpcm.
Xét hàm như sau:
$S_0(x)=x$
$S_{n+1}(x) = S_n(x)[S_n(x)+\dfrac{1}{n}]$Quy nạp ta có : $x_{n+1}= S_n(x_1)$Cũng có: $S_n(0)=0$
$ S_n(1) >1 $ , $ \forall n \geq 1$
$ \exists a_n , b_n $ mà $a_n $ < $b_n $ và:
$S_n(b_n) =1 ; S_n(a_n) = 1- \dfrac{1}{n}$
$S_n(x) $ đa thức hệ số không âm $\rightarrow S_n(x) $ tăng trên $(0;1)$Dễ dàng chứng minh: $(a_n) $ dãy tăng ,$ (b_n) $ dãy giảm
Như vậy rõ ràng là 2 dãy $(a_n) $ và $(b_n) $ đều hội tụ
Do đồ thị $S_n $ lõm nên với $0 \leq x \leq b_n $ thì:
$S_n(x) \leq \dfrac{x}{b_n}$
$a_n $ <$ b_n \rightarrow S_n(a_n) \leq \dfrac{a_n}{b_n}$$\rightarrow 1- \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{a_n}{b_n} $ <$1$
Theo nguyên lý kẹp ta có $b_n - a_n $ hội tụ về $0$
Để ý rằng khi đoạn $[a_n;b_n] $ thắt dần thì tồn tại duy nhất $x_1 $ để $a_n $ < $x_1$ < $b_n, \forall n.$
$a_n $ < $x_1 $ <$ b_n $ $\rightarrow S_n(a_n) < S_n(x_1) < S_n(b_n)$$\rightarrow 1- \dfrac{1}{n} $ < $x_{n+1} $ < $1$
$\rightarrow 0 $ < $x_n $ <$1$
$x_{n+1} = S_n(x_1) = S_{n-1}(x_1)[S_{n-1}(x_1)+ \dfrac{1}{n-1}] $ > $S_{n-1}(x_1)[1-\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n-1}] = S_{n-1}(x_1) = x_n $ Từ đây ta sẽ suy ra đpcm.
Thông minh do học tập mà có
Thiên tài từ tích lũy mà nên
------------------------------
Một người hiểu biết cũng giống như một dòng sông,càng sâu thì càng ít ồn ào.
Thiên tài từ tích lũy mà nên
------------------------------
Một người hiểu biết cũng giống như một dòng sông,càng sâu thì càng ít ồn ào.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users