Chủ đề này có 1 trả lời

[vedeptoan]

Tìm số dương nhỏ nhất a sao cho tồn tại một số dương b thỏa mãn:
$\sqrt{1+y}+\sqrt{1-y}\leq 2-\dfrac{y^{a}}{b} (0\leq y \leq 1) \$
Với giá trị tìm được của a hãy xác định giá trị nhỏ nhất của b thỏa mãn

[caothudainoi]

Xét hàm số: f(y)=sprt(1+y) + sqrt(1-y) - y^a/b -2 với 0<=y<=1;
có f(0)=0;
Xét f'(y)=-yx(1/((1+y)sqrt(1-y)+(1-y)sqrt(1+y)) - ay^(a-1)/b)
Ta chứng minh a>=1
Thật vậy :
Giả sử a <1 :
y^(a-1)-> dương vô cùng khi y->0
suy ra tồn tại c>0 mà f'(y)>0 với mọi y thuộc (0,c]
suy ra f©>f(0) mâu thuẫn
Vậy a >=1
Khi a=1 :f'(y)=y(1/ ((1+y)sqrt(1-y)+(1-y)sqrt(1+y)) -1/b)
ta chứng minh b>=2
Thật vậy 1/ ((1+y)sqrt(1-y)+(1-y)sqrt(1+y)) ->1/2 khi y->0
suy ra tồn tại c ma` f'(y)>0 với mọi y thuộc (0,c]
Suy ra f©>f(0) mâu thuẫn
vậy b>=2
Ta chứng minh với a=1,b=2 thỏa mãn đề bài:
1/ ((1+y)sqrt(1-y)+(1-y)sqrt(1+y)) >=1/2
suy ra f'(y)<=0
suy ra dpcm